Задача 106. Рассеяние на потенциале Юкавы

В первом борновском приближении найти амплитуду рассеяния в случае сил притяжения, описываемых потенциалом Юкавы:

Оценить качество приближения, используя разложение по парциальным волнам.

Решение. В первом борновском приближении имеем

Применительно к потенциалу (106.1) элементарное интегрирование дает

где постоянная

характеризует "размер" потенциальной ямы.

С другой стороны, разлагая амплитуду рассеяния по парциальным волнам, имеем

Чтобы оценить качество первого борновского приближения (106.3) с помощью фаз рассеяния мы должны либо разложить выражение (106.3) по сферическим гармоникам, либо произвести это разложение непосредственно в формуле (106.2) и лишь затем перейти к частному случаю потенциала Юкавы. Разумеется, оба пути ведут к одному и тому же конечному результату.

1. Разложение амплитуды рассеяния (106.3) по парциальным волнам имеет вид

где

Пользуясь ортогональностью сферических гармоник, получаем

Фигурирующие здесь интегралы

определяют функции Лежандра второго рода Две первые из них имеют вид

Заменяя здесь переменную переменной окончательно получаем

причем

2. Чтобы разложить амплитуду рассеяния (106.2), воспользуемся тождеством

Сравнивая теперь выражения (106.2) и (106.5), получаем соотношение

Если подставить сюда вместо выражение для потенциала Юкавы (106.1) и ввести обозначения

то это соотношение примет вид

С помощью известной формулы

интеграл (106.11) можно преобразовать таким образом, чтобы функция Бесселя входила в подынтегральное выражение линейно. Учитывая далее, что

окончательно получаем

Фиг. 57. Первое приближение для фаз рассеяния на потенциале Юкавы параметр, характеризующий размер ямы. По оси абсцисс отложен энергетический параметр в логарифмическом масштабе.

С помощью замены переменной интегрирования

последний интеграл приводится к более простому виду

и его можно вычислить для каждого значения В результате, разумеется, снова получается найденная выше формула (106.9).

Чтобы можно бцло судить о качестве сделанного приближения, на фиг. 57 изображены графики функций

(по оси абсцисс отложена переменная в логарифмическом масштабе). При обе функции обращаются в нуль и при малых энергиях они ведут себя соответственно как

Далее обе они проходят через максимум и при больших энергиях снова стремятся к нулю. Борновское приближение оказывается хорошим в том случае, если для интересующего нас значения энергии выполняются неравенства

Может случиться, что произведение не очень мало по сравнению с единицей, но все еще имеет место неравенство 1, в таком случае можно написать

где индексом В отмечены амплитуда и фаза рассеяния в борновском приближении, определяемые равенствами (106.3) и (106.9). Точный расчет здесь требуется только для определения фазы остальная же часть амплитуды т. е. находится по формуле (106.3).

Замечание. В первом борновском приближении и амплитуда рассеяния (106.3) и выражение (106.9) для функции

оказываются действительными. Это возможно лишь в том случае, когда истинная фаза рассеяния удовлетворяет условию поскольку разложение интересующего нас выражения в ряд по степеням имеет вид

Вообще говоря, достаточным является даже условие так как в полное сеченне рассеяния

входит только