Задача 23. Отражение от прямоугольного барьера

Общую формулу, полученную в задаче 22, применить к потенциальному барьеру вида

и вне этого интервала. Вычислить коэффициент прохождения.

Решение. Внутри барьера уравнение Шредингера запишем в виде:

Оно имеет решения двух типов: для кинетической энергии ниже порога и для кинетической энергии выше порога Мы начнем с первого случая. Положим

тогда

Поэтому для четного и нечетного решений имеем соответственно

и

Следовательно,

Для коэффициента прохождения с помощью формулы (22.96) после элементарных преобразований получаем

Коэффициент отражения находится с помощью (22.10):

В классической механике падающий слева поток целиком отразился бы от барьера и мы имели бы Согласно же формуле (23.6), это может быть только при условии т. е. только в том случае, когда над энергетическим уровнем частицы возвышается огромная "потенциальная гора". Коэффициент прохождения становится при этом очень малым, хотя и конечным ("туннельный эффект"), и приближенно его можно записать в виде

Порядок величины коэффициента прохождения в основном определяется экспоненциальным множителем.

В дальнейшем для показателя экспоненты нами будет получено общее выражение (см. задачу 116) в виде интеграла

при произвольном потенциале

Когда кинетическая энергия частицы превышает высоту потенциального барьера, величина к, определенная соотношением (23.3) становится чисто мнимой. Вводя для удобства обозначение

мы можем теперь вместо (23.6) написать

В классической механике при рассматриваемых энергиях должно было бы быть коэффициент же прохождения, определяемый формулой (23.10), достигает максимального значения только при Между этими максимумами в точках находятся минимумы, которые лежат тем ближе к значению чем меньше множитель при синусе в формуле (23.10), другими словами, чем

больше энергия частицы по отношению к высоте потенциального барьера.

Зависимость коэффициента прохождения от отношения энергии к высоте барьера (скажем ) показана на фиг. 5, где изображен график функции для случая

Фиг. 5. Зависимость коэффициента прохождения от отношения энергии к высоте барьера (при

Фиг. 6. Зависимость плотности вероятности от координаты для потока частиц, падающих слева на прямоугольный барьер в случае Парой вертикальных линий отмечена ширина барьера а. Осцилляции слева от барьера обусловлены интерференцией между отраженной и падающей волнами.

На фиг. 6 иллюстрируется поведение волновой функции: на ней изображена зависимость плотности вероятности от координаты х. По правую сторону от барьера т. е. плотность вероятности постоянна, слева же от барьера имеет место интерференция между отраженной и падающей волнами. На фиг. 6 показан случай для барьеров различной ширины. Чем шире барьер, тем меньше интенсивность прошедшей волны и тем ярче выражено явление интерференции.