Задача 32. Использование лестничных операторов для нахождения собственных функций осциллятора

Найти собственные функции осциллятора, переведя операторы и предыдущей задачи на язык координатного представления.

Решение. Введенные с помощью соотношений (31.1) операторы и являются линейной комбинацией операторов их. В координатном представлении х - классическая переменная, а

— дифференциальный оператор. Здесь удобно выбрать в качестве единицы длины величину

и во всех соотношениях пользоваться безразмерной переменной

вместо переменной При этом имеем

Наинизшее состояние, согласно результатам предыдущей задачи, определяется соотношением или

Это есть дифференциальное уравнение с общим решением

где постоянную интегрирования следует выбрать, руководствуясь соображениями нормировки так, чтобы

Таким образом, получаем

Полный набор собственных функций теперь можно построить, применяя последовательно оператор

т. е. путем повторного дифференцирования формулы (32.6). Если мы напишем

то тогда в соответствии с (32.7) функции будут многочленами степени от причем для них должно выполняться рекуррентное соотношение

Если мы выберем нормировочные постоянные таким образом, чтобы

то тогда формула (32.9) просто превратится в рекуррентное соотношение для полиномов Эрмита:

где

Сравнение с формулой (30.19) показывает, что полученный там нормировочный множитель, если отвлечься от удовлетворяет соотношению (32.10), поэтому

Множитель разумеется, произволен, так как условие нормировки оставляет фазовый множитель всякой собственной функции неопределенным.