Задача 30. Гармонический осциллятор

Найти собственные значения и собственные функции в случае осцилляторного потенциала

Решение. Введя обозначения

уравнение Шредингера можно записать в виде

Решения этого дифференциального уравнения асимптотически при ведут себя как Если выделить эту экспоненту из функции и положив

то функция удовлетворяющая уравнению

будет либо полиномом, либо пропорциональна Решая уравнение (30.5) с помощью разложения в ряд

получаем рекуррентное соотношение

При имеет место асимптотическое соотношение соответствующее степенному разложению функции Таким образом, решение (30.4) нельзя нормировать, если ряд (30.6) не обрывается на конечном члене, что происходит при условии т. е. когда

В этом случае, согласно (30.2), имеем

Собственные функции можно определить с помощью соотношения (30.7) и нормировать их в соответствии с условием

Несколько первых собственных функций приводятся ниже:

а соответствующие нормировочные постоянные равны

Три первые собственные функции показаны на фиг. 19.

Легко видеть, что собственные функции обладают определенной четностью. В самом деле, в силу симметрии потенциала, функция является решением дифференциального уравнения наряду с функцией и принадлежит тому же самому собственному значению (30.8). Так как вырождение отсутствует, то оба решения могут различаться лишь постоянным множителем причем в силу условия нормировки При повторном изменении знака х мы возвращаемся к исходному решению, поэтому или следовательно, всякая собственная функция должна быть либо четной, либо нечетной.

Фиг. 19. Потенциал, энергетические уровни и собственные функции гармонического осциллятора.

Этот факт можно подтвердить непосредственно, если в уравнение (30.5) ввести вместо х новую переменную

тогда будет удовлетворять дифференциальному уравнению для вырожденной гипергеометрической функции:

Если положить

то общее решение этого уравнения будет иметь вид

Так как вырожденный гипергеометрический ряд есть целая функция, то первое слагаемое в решении (30.14) четное, а второе нечетное по отношению к переменной х. При оба слагаемых расходятся как и решение и нельзя нормировать» если ряды не исчезают и не обрываются. Гипергеометрический ряд обрывается только тогда, когда его первый аргумент равен целому отрицательному числу, поэтому у нас имеется две возможности. Если

то обрывается первый ряд и для собственной функции получаем

Если же

то обрывается второй ряд и собственная функция будет равна

Эти результаты полностью согласуются с формулой для собственных значений (30.8) и собственными функциями (30.10).

Многочлены, определяемые равенствами (30.16а) и (30.166), называются полиномами Эрмита. С вырожденной гипергеометрической функцией они связаны соотношениями:

Кроме того, имеет место формула

Таким образом, в общем случае нормированные собственные функции [см. (30.9)] имеют вид

Для вычисления нормировки в формуле (30.19) можно воспользоваться следующим приемом. Запишем собственную функцию в виде

тогда в силу условия (30.9) должно быть

Заменим теперь один из полиномов его выражением (30.18). Беря получающийся интеграл

n раз по частям, окончательно находим

Поскольку - многочлен степени относительно то после -кратного дифференцирования останется вклад лишь от высшей степени

т. е.

и

в полном согласии с формулой (30.19).