Задача 65. Изотропный осциллятор

Путем разделения переменных в сферических координатах решить уравнение Шредингера для осцилляторного потенциала

Решение. Обычная процедура разделения переменных

приводит к радиальному уравнению

При оно оказывается идентичным уравнению одномерного осциллятора (см. задачу 30). Когда же центробежные силы отбрасывают частицу от центра, что ведет к существенно иным решениям.

Вводя обозначения

можно записать уравнение (65.3) в стандартном виде

Анализ поведения решения при которое определяется соответственно центробежным и осцилляторным членами, наводит на мысль искать решение в виде

и по аналогии с одномерным случаем ввести вместо новую

переменную

В результате получаем уравнение Куммера

общее решение которого имеет вид

Наличие второго слагаемого в этом выражении несовместимо при с условием нормировки, поэтому Это существенно отличается от задачи об одномерном осцилляторе, где нет никаких граничных условий в начале координат.

Вырожденная гипергеометрическая функция при больших положительных значениях ее аргумента ведет себя как

что с учетом равенств (65.6) и (65.8) приводит к экспоненциально возрастающему решению

Этого возрастания можно избежать лишь тогда, когда т. е. в том случае, когда пер геометрический ряд вырождается в полином степени Таким образом, имеем

так что с учетом выражений (65.4) уровни энергии будут равны

Число можно назвать радиальным квантовым числом. Система энергетических уровней начинается с нулевой энергии (это соответствует наличию трех степеней свободы в нашей задаче) и так же, как в случае одномерного осциллятора, все уровни располагаются эквидистантно:

где

Собрав вместе результаты, содержащиеся в формулах (65.6), (65.8) и (65.9а), приведем окончательное выражение для собственных функций

где постоянную С следует определять с помощью условия нормировки.

За исключением основного состояния, для которого все энергетические уровни вырождены, так как, согласно формуле (65.11), четные «можно получить различными способами, а нечетные можно получить способами. Кроме того, следует учесть, что для каждого значения I имеется различных значений заключенных между что приводит к дополнительному увеличению кратности вырождения.

Замечание. Полученные здесь результаты целесообразно сравнить с результатами задачи 42, где был рассмотрен изотропный осциллятор на плоскости.