Задача 75. Модель дейтрона с центральным взаимодействием

Идеализируя реальную ситуацию, будем предполагать, что взаимодействие между нейтроном и протоном описывается сферически симметричным потенциалом

Решить уравнение Шредингера для эквивалентной одночастичной задачи (см. задачу 150) в случае связанных состояний с (дейтрон). Экспериментально установлено, что существует только одно связанное состояние с энергией

Найти связь между параметрами А и а, при которой для энергии получается указанное значение, считая, что значения а близки к 2 ферми . Для установления искомой связи использовать три метода:

а) точное решение уравнения Шредингера;

б) приближенную волновую функцию вида

обладающую правильным асимптотическим поведением при надлежащем выборе у;

в) метод Ритца с однопараметрическим семейством экспонент в качестве пробных функций.

а. Точное решение. Полагая при

мы имеем следующее уравнение Шредингера для эквивалентной одночастичной задачи:

где приведенная масса нуклонов (мы считаем, что массы нуклонов равны). Переходя к новой независимой переменной

получаем

где

Уравнение (75.5) есть уравнение Бесселя с общим решением

Согласно равенству (75.4), точке у — 0 соответствует точка где функция х должна обращаться в нуль. Следовательно, и волновая функция будет равна

С другой стороны, точке соответствует точка где волновая функция и обязана быть конечной, поэтому для функции Бесселя должно выполняться равенство

При заданных числовых значениях величин и мы на основании формул (75.6) имеем

где значения а берутся в единицах ферми, а значения Пусть нам задано значение величины а, тогда величину мы

можем найти по формуле (75.10). Затем из уравнения (75.9) находим величину с и, наконец, снова с помощью формулы (75.10) определяем соответствующее значение глубины потенциальной ямы А. Следует подчеркнуть, что нужно брать наименьший корень уравнения (75.9), так как именно в этом случае получается наименьшее значение А, что соответствует потенциальной яме с одним-единственным связанным состоянием. Результаты численных расчетов значений величин А и а приводятся в нижеследующей таблице.

(см. скан)

б. Приближенное решение. Волновая функция

в точке имеет конечное значение,

и убывает экспоненциально на больших расстояниях причем коэффициент спадания имеет правильное значение:

Нормировочная постоянная С получается из условия

которое дает

Теперь с помощью этой волновой функции мы определим среднее значение энергии, для которого имеет место формула

Если в подынтегральное выражение (75.13) подставить точную волновую функцию (75.8), то в результате мы получили бы точное собственное значение Используя же приближенную функцию и (75.11), мы получаем приближенное собственное значение которое, согласно вариационному принципу Шредингера (см. задачу 2), должно несколько превышать точное собственное значение

Интеграл (75.13) с функцией (75.11) вычисляется элементарно, и окончательный результат имеет вид

Если теперь подставить сюда значения ферми и найденные нами ранее, то для получится значение Если же, с другой стороны, потребовать, чтобы формула (75.14) давала правильное значение энергии, при то для этого придется глубину ямы А взять равной Таким образом, при правильном значении глубины потенциальной ямы у нас получается значение энергии, завышенное примерно на 2,5%, для получения же правильного значения энергии требуется потенциальная яма несколько большей глубины А.

в. Метод Ритца. В качестве пробных функций возьмем нормированные функции вида

и определим значение параметра а из условия минимальности выражения (75.13) для среднего значения энергии Подставив выражение (75.15) в формулу (75.13), после элементарных вычислений получаем

и

или

Для значений ферми и правая часть равенства (75.17) будет равна 22,3, откуда следует, что Учитывая, что мы в соответствии с формулой (75.16а) получаем для энергии значение

Мы видим, что приближенное значение снова больше точного.

На фиг. 42 представлены графики всех трех волновых функций и (точная), и, и с учетом правильной нормировки (правильную нормировку для функции и можно найти лишь численным методом).

Фиг. 42. Точная и две приближенные волновые функции для модели дейтрона с центральным взаимодействием.

Обе приближенные функции при малых принимают слишком большие значения, что, однако, не играет особой роли, так как благодаря множителю в элементе объема практически не сказывается ни на нормировке, ни на величине интеграла (75.13). Кроме того, это отклонение компенсируется тем, что при больших обе функции принимают заниженные значения. В асимптотическом поведении всех трех кривых не наблюдается

сколько-нибудь существенного различия:

где .