Задача 21. Рассеяние на «дельта»-образном потенциальном барьере

Слева на потенциальный барьер

падает поток частиц с энергией Показать, что наличие барьера приводит к появлению разбегающейся в обе стороны от него "рассеянной" волны.

Решение. Всюду, кроме бесконечно малой окрестности точки общее решение уравнения Шредингера можно записать в виде

где константы, имеющие различные значения для областей подбирая их, можно добиться, чтобы решение (21.2) удовлетворяло граничному условию. Наше решение можно записать несколько иначе, если выбрать нормировку таким образом, чтобы амплитуда падающей волны равнялась единице,

Здесь соответственно амплитуды рассеяния назад и вперед.

Согласно равенству (20.3), позедение функции и в точке определяется условиями

Эти соотношения дают и

поэтому окончательно

В решении (21.3) можно различить три волны: падающую волну единичной интенсивности, отраженную с интенсивностью и прошедшую с интенсивностью Из соотношения (21.5) следует

Это приводит к закону сохранения (уравнение непрерывности)

согласно которому сумма интенсивностей прошедшей и отраженной волн равна интенсивности падающей волны.

Если потенциальный барьер почти непроницаем то в силу (21.5) поэтому мы имеем почти

полное отражение. Если же потенциальный барьер почти прозрачен то

и интенсивность рассеянной волны становится обратно пропорциональной энергии частицы. Разумеется, это верно лишь в предельном случае высоких энергий и не имеет места при малых энергиях частицы Здесь мы имеем дело с частным случаем первого борновского приближения, которое справедливо, как известно, при высоких энергиях. Следует, однако, отметить, что для справедливости последнего вовсе не требуется (как иногда утверждают), чтобы кинетическая энергия была всюду велика по сравнению с потенциальной энергией Действительно, в приведенном примере потенциальная энергия становится даже бесконечно большой.

Равенство амплитуд рассеяния вперед и назад для любых значений энергии является специфической чертой потенциала (21.1).