Задача 15. Пространство импульсов. Периодические и непериодические волновые функции

Рассмотрите вопрос о вероятностной интерпретации волновой функции в импульсном пространстве. Начните с периодической волновой функции в конфигурационном пространстве и исследуйте предельный переход к кубу периодичности с бесконечно большим ребром.

Решение. Обозначим через длину периодичности в каждом из направлений х, у, z конфигурационного пространства. Тогда ряд Фурье

будет содержать лишь такие члены, для которых компоненты каждого из векторов определяются соотношением

Это означает, что в -пространстве при больших значениях в элементе объема содержится

различных векторов

Вопрос о нормировке ряда (15.1) можно решить с помощью подходящего выбора коэффициентов Запишем интеграл от квадрата модуля волновой функции по объему куба периодичности:

Интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль, если и равен если поэтому

Пусть теперь есть вероятность обнаружить частицу внутри куба периодичности тогда будет вероятностью обнаружить частицу в кубе периодичности с импульсом вероятностью обнаружить у частицы импульс при условии, что она находится внутри куба периодичности

Переходя к пределу бесконечно больших можно заменить ряд Фурье (15.1) интегралом Фурье по -пространству. Согласно (15.2) и (15.3), это можно сделать с помощью правила:

Тогда равенство (15.1) даст

Данный интеграл Фурье представляет ограниченную волновую функцию с не зависящими от значениями в том и только в том случае, если величина

имеет конечный предел при Тогда волновую функцию

можно нормировать следующим образом:

где последний интеграл берется по всему пространству,

Поэтому для интеграла (15.9) получаем

что, кстати говоря, есть просто преобразование суммы (15.4) в интеграл с помощью правила (15.5) и с учетом соотношения (15.7). Полученный результат означает, что вероятность обнаружить у частицы импульс в пределах элемента безотносительно к ее местоположению в конфигурационном пространстве равна

Замечание. При изменении порядка интегрирования необходимо соблюдать известную осторожность, если не является непрерывной функцией Пусть, например,

тогда в соответствии с равенством (15.8) имеем

Интеграл (15.11) и интегралы (15.9) с измененным порядком интегрирования содержали бы в этом случае квадрат -функции и были бы совершенно бессмысленными. Если же выполнить интегрирование по конфигурационному пространству в конце, то равенство (15.9) дает

что находится в согласии с выражением для волновой функции (15.14).