Задача 2. Вариационный принцип Шредингера

Заменить уравнение Шредингера

вариационным принципом для энергии.

Решение. Всякое решение дифференциального уравнения (2.1) удовлетворяет уравнению связи

поэтому выражение для энергии получается путем умножения уравнения (2.1) на и последующего интегрирования по всему пространству:

Интегрирование по частям первого члена с учетом формулы Грина дает

Далее нормировочный интеграл (2.2) существует лишь в случае если решение на больших расстояниях убывает не медленнее, чем

Но при этом условии поверхностный интеграл в (2.4), взятый по поверхности бесконечно удаленной сферы, исчезает, поэтому выражение (2.3) можно записать в виде

Это равенство совершенно симметрично по отношению к функциям точно так же, как и условие нормировки (2.2), и мы с таким же успехом могли бы получить его, исходя из уравнения

комплексно сопряженного уравнению (2.1).

Было бы нетрудно показать, что уравнения (2.1) и (2.1а) представляют собой уравнения Эйлера для вариационной задачи об экстремуме интеграла (2.5) при наличии связи (2.2). Мы, нако, не будем пользоваться аппаратом вариационного исчисления, предпочтя ему прямое доказательство.

Пусть — решение дифференциального уравнения (2.1), принадлежащее собственному значению Оно дает для интеграла (2.5) значение Заменим теперь на близкую функцию где -малая, но произвольная вариация, если не считать условия (2.2), которому функция должна удовлетворять в той же мере, что и

и, следовательно,

После подстановки в интеграл (2.5) получаем для энергии выражение где

В первой строке здесь собраны члены первого, а во второй — второго порядка малости. С помощью интегрирования по

обратного выполненному ранее, мы можем в первой строке вернуться к выражениям и а затем воспользоваться уравнениями (2.1) и (2.1а) для того, чтобы избавиться от производных. В результате мы, например, получаем

поэтому первая строка в соотношении (2.7), если учесть равенство (2.6), будет также давать вклад второго порядка малости:

Так как у нас не осталось членов, линейных по или то энергия очевидно, будет иметь либо максимум, либо минимум при т. е. для тех которые являются решениями уравнения Шредингера. Ответ на вопрос о том, что представляет собой экстремум—максимум или минимум, - зависит от знака выражения (2.8).

Чтобы несколько глубже разобраться в этом последнем вопросе, мы воспользуемся совокупностью решений уравнения (2.1) и построим из них ортогональную систему функций:

Теперь разложим по этой системе функций вариацию

Тогда равенство (2.8) примет вид

или с учетом (2.9) и (2.1)

Если относится к основному состоянию, то для всех состояний имеем и вариационный принцип, таким образом, дает для минимум, так как сумма (2.11) положительна. Для возбужденных состояний нельзя установить такого общего правила, так как в сумме (2.11) в этом случае содержатся как положительные, так и отрицательные слагаемые.