Задача 52. Частица со спином 1

Рассмотрев бесконечно малые вращения системы координат, показать, что векторное поле пригодно для описания частицы со спином 1.

Решение. Если бесконечно малое вращение, как и в задаче 47, описывать формулой

то векторное поле будет преобразовываться точно так же, как радиус-вектор поэтому

Из решения же задачи 47 нам известно, что разложение в ряд Тейлора каждой компоненты в окрестности должно приводить к соотношениям

Мы получим решение нашей задачи, проведя сравнение этих двух выражений.

С этой целью воспользуемся для матрицы А выражением (47.16), которое запишем в виде разложения:

или более компактно:

где

так что равенство (52.2) теперь примет вид

Комбинируя равенства (52.3) и (52.7), можно исключить Это дает

или

где

Отсюда следует, что три матрицы суть компоненты спина, полный момент количества движения, его орбитальная часть. Пользуясь определениями (52.6), нетрудно показать, что операторы подчиняются перестановочным соотношениям для компонент оператора момента количества движения:

Каждая из матриц (52.6) имеет собственные значения так как они отличаются от двухрядной матрицы Паули имеющей собственные значения +1 и —1, лишь одной дополнительной строчкой и одним дополнительным столбцом нулей (если отвлечься от знака матрицы что приводит к собственному значению 0 в дополнение к собственным значениям матрицы Таким образом, проекция спина на любое направление имеет собственные значения Наконец, квадрат спина равен

или В соответствии с общей формулой получаем для спина векторного поля значение