Задача 127. Нормальный эффект Зеемана
На электрон, помещенный в центральное поле, дополнительно воздействует однородное магнитное поле Определить стационарные состояния электрона. Спин электрона не учитывать.
Решение. В пренебрежении релятивистскими эффектами дифференциальное уравнение для стационарных состояний электрона с зарядом 
имеет вид
причем выше мы воспользовались калибровкой 
и опустили член, пропорциональный 
В случае однородного поля направленного вдоль оси 
мы можем удовлетворить условию калибровки, положив
при
и уравнение (127.1) можно записать в виде
Заметим, что член, содержащий магнитное поле, можно переписать несколько по-иному:
где 
оператор момента количества движения, z-компонента
которого равна
Согласно максвелловской теории электромагнетизма, движущаяся частица с зарядом 
и моментом количества движения 
порождает магнитное поле, обусловленное дипольным магнитным моментом
поэтому величину (127.5) можно записать в виде 
Последнее выражение представляет собой, на самом деле, хорошо известную потенциальную энергию диполя 
в магнитном поле
Решение дифференциального уравнения (127.4) можно искать в виде
тогда член, содержащий магнитное поле, даст а уравнение вклад
и вместо (127.4) теперь можно написать
Это уравнение по форме совпадает с дифференциальным уравнением для случая 
Отсюда следует, что под действием магнитного поля энергетические уровни расщепляются:
Здесь через 
обозначены собственные значения для случая 
Учитывая, что 
и принимая во внимание равенство (127.6), последнее соотношение можно преобразовать к виду
что и следовало ожидать исходя из классических соображений.
Характерный магнитный момент 
называют магнетоном Бора, а квантовое число 
- магнитным, квантовым числом. В рассматриваемом случае система собственных состояний та же самая, что и при 
но магнитное поле уничтожает пространственное вырождение энергетических уровней.
Замечание. Формулу (127.9), определяющую уровни энергии, можно получить, рассматривая оператор магнитной энергии (127.5)
в качестве возмущения. В первом порядке теории возмущений сдвиг уровней определяется диагональным матричным элементом оператора 
вычисленным по невозмущенным собственным функциям:
Совпадение приближенного результата с точной формулой (127.9) объясняется тем, что волновые функции нулевого приближения в интеграле (127.12) совпадают с точными решениями уравнения (127.4). В связи с вопросом о правилах отбора см. задачу 216.
