Главная > Задачи по квантовой механике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 17. Волновой пакет в случае свободного движения

Построить волновой пакет и исследовать его временную эволюцию.

Решение. Мы начнем с частного решения волнового уравнения, записав его в ранее найденном виде (16.11):

а произвольная постоянная амплитуда. Здесь -все еще свободный параметр, так что общее решение волнового уравнения записывается в виде любого сходящегося интеграла по выражения (17.1):

Равенство (17.3) описывает одномерный волновой пакет наиболее общего вида. Чтобы интеграл сходился, амплитуда должна стремиться к нулю при по крайней мере как Всякая выбранная подходящим образом амплитуда приводит к решению определенного вида.

Теперь построим волновой пакет таким образом, чтобы в начальный момент времени вероятность обнаружить описываемую им частицу заметно отличалась от нуля лишь внутри малой окрестности точки и чтобы частица двигалась с импульсом

Этого можно добиться, положив

Действительно, в этом случае плотность

отвечает частице, локализованной в области а поток (16.10)

поэтому величина есть скорость частицы, импульс пакета. Так как волновая функция описывает одну частицу, то имеет место условие нормировки

т. е.

Выражение (17.4) можно разложить по плоским волнам, используя соотношения (17.3) и (17.1):

Но этот интеграл есть интеграл Фурье, обращая который, получаем

Вычисляя последний интеграл с помощью хорошо известной формулы

окончательно находим

Этот результат легко понять, привлекая на помощь соотношение неопределенности Гейзенберга. В начальном состоянии неопределенность координаты частицы, согласно выражению (17.4), имеет порядок С другой стороны, как показывает выражение (17.8), основной вклад в волновую функцию дает та часть спектра

волновых чисел импульсов которая лежит в полосе шириной вблизи Следовательно, независимо от выбора величины а имеет место соотношение

но это и есть соотношение неопределенности Гейзенберга.

Определив амплитуду по начальному состоянию при мы можем теперь перейти к вычислению общего интеграла (17.3) для любого момента времени:

Здесь в экспоненте стоит квадратичная форма так что этот интеграл снова можно привести к интегралу ошибок (17.7). Результат имеет вид

В этом довольно сложном выражении нетрудно разобраться, снова рассмотрев плотность и поток но теперь уже для любого момента времени Плотность в этом случае равна

Как функция координаты она все еще имеет форму колоколообразной кривой, однако максимум ее теперь сдвинут из точки в точку Следовательно, максимум "цуга волн", описываемого выражением (17.10), перемещается со скоростью (групповая скорость равна скорости частицы). В то же самое время знаменатель в экспоненте (17.11) показывает, что ширина волнового пакета увеличилась от значения а при до значения

при Этот эффект легко объяснить, исходя из вида спектральной функции (17.8). Так как спектр волновых чисел имеет ширину то скорости отдельных волн разбросаны в области шириной поэтому пакет расплывется на величину что и было найдено выше.

Выражение для потока получается из (17.10) с помощью соотношения

Непосредственное вычисление после сравнения с формулой (17.11) дает

Отсюда видно, что для произвольных времен мы отнюдь не имеем как это было при что опять-таки является следствием конечной ширины спектра скоростей. Для максимума пакета и равенство (17.12) приводит к элементарному соотношению . С другой стороны, для мы имеем и это вполне разумно, так как к моменту времени до точки доходят лишь те части волнового пакета, скорость которых меньше (больше)

В заключение следует упомянуть, что условие нормировки выполняется для всех времен, это является выражением закона сохранения вещества.

1
Оглавление
email@scask.ru