Задача 57. Ортогональность сферических гармоник
Показать, что выведенные в предыдущей задаче собственные векторы оператора 
при фиксированном значении числа I образуют ортогональную систему, и определить по отношению к ней матричные элементы операторов 
Решение. Как было показано, векторы 
удовлетворяют соотношениям
Образуем два равных скалярных произведения:
и
Применяя к правым частям этих равенств соотношение (57.1а), соответственно получаем выражения
и
Разность этих выражений равна нулю:
Второй сомножитель в левой части должен равняться нулю за исключением тех случаев, когда равен нулю первый сомножитель. Таким образом, искомая ортогональность доказана для всех случаев, кроме 
либо 
Чтобы исключить последнюю возможность, воспользуемся соотношением (57.16) В полной аналогии с предыдущими выкладками имеем
Снова рассматривая разность
видим, что на этот раз первый сомножитель обращается в нуль при 
но не при 
Следовательно, оба соотношения (57.3) и (57.4), рассматриваемые
совместно, приводят к искомому условию ортогональности:
(выше мы воспользовались нормировкой, введенной в предыдущей задаче).
С помощью соотношений (56.8) и (56.12) теперь нетрудно получить матричные элементы операторов 
Придерживаясь соглашения о знаке (56.14), имеем
все прочие матричные элементы исчезают в силу соотношения (57.5).
