Задача 95. Вариационный принцип Швингера

Исходя из выведенного в предыдущей задаче интегрального уравнения с симметричным ядром, установить вариационный принцип для определения фазы рассеяния.

Решение. Оставляя неоднородность в правой части, запишем интегральное уравнение (94.9) в виде

Умножим обе части этого уравнения на и проинтегрируем по Это даст

где

и

Эти два интеграла равны между собой при условии, что функция удовлетворяет уравнению (95.1). Из предыдущей задачи нам известно, что

Возьмем теперь вместо истинного решения близкую к нему функцию При этом несколько изменятся и значения наших интегралов:

и

Следует заметить, что равенство (95.6) написано в предположении, что ядро интегрального уравнения симметрично. Дело в том, что при варьировании первоначально возникает вариация чтобы вернуться к вариации мы должны в правой части равенства (95.6) произвести замену переменных интегрирования, в результате которой ядро перейдет в ядро

Так как выше означает истинное решение интегрального уравнения (95.1), то в правой части равенства (95.6) выражение, стоящее в фигурных скобках, можно заменить функцией поэтому мы получаем

Последнее равенство с помощью соотношения (95.2) можно записать по-иному:

или

Это и есть искомый вариационный принцип. Согласно этому принципу, требуется, чтобы величина или, подробнее, величина

была экстремальна и, следовательно, чтобы

Смысл величины нетрудно установить, если принять во внимание равенство (95.5) и учесть, что Мы имеем

Таким образом, экстремальное значение величины непосредственно связано с правильным значением фазы рассеяния

Следует отметить, что сформулированный вариационный принцип не зависит от нормировки волновой функции. В этом легко убедиться, заменив в (95.10) волновую функцию функцией В результате этой замены числитель и знаменатель дроби (95.10) умножаются на поэтому сама величина остается неизменной.

Замечание. В области очень малых энергий , когда взаимодействие имеет характер притяжения, в рассеянии участвует только -волна Как было показано в задаче 88, в этом случае мы можем ввести длину рассеяния

Равенство (95.12) показывает, что

поэтому сформулированный вариационный принцип с успехом можно использовать для определения длины рассеяния.

Литература

(см. скан)