Задача 46. Симметричный волчок

Вращение весьма большого класса молекул можно трактовать как вращение твердого тела, если не принимать во внимание колебания ядер и не учитывать движение электронов. Пусть молекула имеет форму симметричного волчка с моментом инерции С относительно оси молекулы и моментом инерции А относительно любой из перпендикулярных осей, проходящих через ее центр масс. Исходя из классической функции Гамильтона, получить уравнение Шредингера для свободных вращений и определить собственные значения энергии.

Решение. Если положение оси волчка задается двумя сферическими углами а поворот волчка вокруг этой оси углом то классическое выражение для кинетической энергии имеет вид:

В этой задаче три эйлеровых угла являются обобщенными координатами, а кинетическая энергия представляет собой квадратичную форму в переменных поэтому для написания соответствующего квантовомеханического оператора мы можем воспользоваться методом, развитым в задаче 13. Определенный там метрический тензор в нашем случае имеет следующие ковариантные компоненты:

а соответствующий ему определитель равен

Контравариантные компоненты метрического тензора вычисляются с помощью формулы и имеют вид

Оператор кинетической энергии теперь можно получить путем непосредственного расчета по формуле (13.11). Это дает

Так как в отсутствие внешних сил оператор Гамильтона совпадает с оператором кинетической энергии то уравнение Шредингера для свободно вращающегося волчка записывается в виде

Уравнение (46.6) с оператором определенным равенством (46.5), можно решить методом разделения переменных:

Чтобы волновая функция и была однозначной, квантовые числа должны быть целыми, так как областью изменения и угла и угла является интервал длиной Эти квантовы числа имеют простой физический смысл:

— проекция момента количества движения волчка на неподвижную в пространстве ось (полярная ось сферической системы координат), а - проекция момента количества движения волчка на его ось симметрии.

После подстановки выражения (46.7) в уравнение (46.6) мы для функции получаем дифференциальное уравнение вида

Дифференциальное уравнение (46.8) можно записать несколько по-иному, если ввести обозначение

и новую переменную

Имеем

Вместо квантовых чисел удобно ввести положительные числа

удовлетворяющие соотношениям

Теперь уравнение (46.11) с помощью подстановки

легко приводится к гипергеометрическому уравнению

Регулярное в точке решение этого уравнения имеет вид

где

так что теперь выражение с учетом формулы (46.9) приобретает вид

Второе решение уравнения (46.14) имеет сингулярность в точке и его можно не рассматривать.

Необходимо подчеркнуть, что величина не обязана быть целым числом (пока что это всего лишь новое сокращенное обозначение) и формула (46.17) еще не определяет искомые собственные значения. Однако в нашем распоряжении есть еще второе граничное условие. В точке гипергеометрический ряд (46.15) имеет сингулярность типа следовательно, наше решение ведет себя как исключением является случай, когда гипергеометрический ряд (46.15) обрывается, что происходит всякий раз, когда либо первый, либо второй аргумент функции (46.15) равен целому отрицательному числу. Поскольку первый аргумент в силу своего определения положителен, в нашем случае должно быть

при этом функция становится полиномом степени и волновая функция оказывается конечной для любых физических значений угла. Как следует из формулы (46.12), сумма есть положительное целое число, равное либо либо в зависимости от того, какая из этих величин больше, поэтому величина равная сумме также есть целое положительное число, всегда превосходящее или в крайнем случае равное большему из чисел Этот результат выглядит вполне разумным, если понимать под (хотя мы этого еще не показали) полный момент количества движения волчка, поскольку всякий вектор всегда не меньше любой из своих компонент. Только теперь, после того как выяснен вопрос о допустимых значениях величины мы можем сказать, что формула (46.17) является решением поставленной задачи.

В том, что величина действительно является квантовым числом полного момента количества движения, проще всего убедиться, сопоставив классическое выражение

с квантовой формулой (46.17).

Замечание 1. Собственные функции в стандартных обозначениях имеют вид

где

Они нормированы таким образом, что

и

Определенная с помощью последних соотношений нормировочная постоянная выражается формулой

С математической точки зрения эти функции примечательны тем, что матрица с элементами реализует -мерное представление группы -мерных вращений. В этой связи см. также задачу 55.

Замечание 2. Применительно к твердому телу метод построения оператора [формула (46.5)] нельзя ни в коей мере считать обоснованным: в задаче 13 разбирался исключительно вопрос об обобщенных координатах для системы точечных масс. Более того, в квантовой механике вообще не может быть абсолютно твердого тела, так как последнее понятие предполагает наличие таких ограничивающих внутренние движения связей, которые приводят к бесконечной нулевой энергии. Только путем корректного отделения этих внутренних движений от вращения системы в целом можно решить указанную проблему. Эта программа была выполнена в работе Флюгге и Вейгани [Fliigge S., Weiguny А., Zs. Phys., 171, 171 (1963)], где было произведено упомянутое отделение внутренних движений и выполнен предельный переход к бесконечно малым колебаниям составляющих систему частиц около их равновесных положений.

Что же касается самого выражения (46.5) и квантовой теории симметричного волчка, то они, разумеется, были получены значительно раньше; первой относящейся сюда работой мы обязаны Рейхе [Reiche F., Zs. Phys., 39, 444 (1926)].