Задача 10. Картина Шредингера и картина Гейзенберга

Когда при выборе системы координат в гильбертовом пространстве мы пользуемся так называемой картиной Шредингера, операторы не зависят от времени, а вектор состояния меняется с течением времени согласно уравнению Шредингера

где гамильтониан рассматриваемой системы. Пусть гамильтониан не зависит явно от времени. Покажите, что переход к "вращающейся" в гильбертовом пространстве системе координат, в которой вектор состояния остается неподвижным (картина Гейзенберга), осуществляется с помощью унитарного преобразования и что в этой системе операторы меняются с течением времени согласно каноническим уравнениям

Решение. Будем писать у всех не зависящих от времени операторов индекс 0 вверху. Пусть далее в момент времени обе системы координат, "неподвижная" и "вращающаяся", совпадают, тогда любой гейзенберговский оператор при будет совпадать с соответствующим шредингеровским оператором

Шредингеровский и гейзенберговский векторы состояний и связаны между собой соотношением

Следует заметить, что на выбор начального состояния если не считать условия нормировки, не налагается никаких ограничений. В силу условий нормировки

оператор должен быть унитарным, т. е. должно выполняться соотношение

Действительно, легко видеть, что

но последнее выражение совпадает с в том и только в том случае, когда выполняется соотношение (10.5).

Оператор можно получить, подставляя (10.3) в уравнение (10.1):

где теперь мы предусмотрительно написали вместо Я, поскольку в картине Шредингера в уравнении (10.1) используется оператор, не зависящий от времени. Дифференциальное уравнение (10.6) с начальным условием имеет решение

где под экспонентой следует понимать соответствующий ей степенной ряд.

Среднее значение любого оператора в любом состоянии должно быть одним и тем же, пользуемся ли мы картиной Шредингера или же картиной Гейзенберга:

Так как

то равенство (10.8) будет выполняться для тех и только для тех которые определяются соотношением

Нелишне отметить, что оператор согласно (10.7), коммутирует с оператором так что

поэтому он инвариантен по отношению к рассматриваемому преобразованию. Таким образом, нет необходимости вводить различные операторы что апостериори оправдывает обозначения, принятые нами в уравнении (10.1).

Чтобы удостовериться в справедливости канонических уравнений (10.2), рассмотрим производную по времени от оператора

Из уравнения, сопряженного с уравнением (10.1),

(здесь учтено, что оператор Н эрмитов, мы по аналогии с (10.6) получаем

и, таким образом, можем избавиться от производных в равенстве

Мы получили важное правило: производная по времени от оператора , который сам не зависит явно от времени, равна его

квантовым скобкам Пуассона с гамильтонианом Н:

Правило (10.12), примененное к операторам сразу же дает

Этим алгебраическим соотношениям можно придать иную форму, если воспользоваться полученными с помощью основных коммутационных правил формулами задачи 8:

что непосредственно приводит к каноническим уравнениям (10.2).

Замечание. Выше предполагалось, что в картине Шредингера операторы не зависят от времени. Если же такая зависимость имеется, то это приводит к появлению дополнительной частной производной по времени. Кроме того, весь формализм становится значительно сложнее, так, например, оператор уже не будет простой экспонентом из-за появления в ее степенном разложении операторов , относящихся к различным моментам времени.