Задача 111. Разложение кулоновской функции по парциальным волнам

Разложить по парциальным волнам волновую функцию, полученную в предыдущей задаче.

Решение. Так как кулоновский потенциал зависит только от то кулоновскую волновую функцию с таким же успехом можно найти, пользуясь разделением переменных в сферических координатах. В этом случае она должна иметь вид

причем радиальные функции обязаны удовлетворять уравнению

и граничному условию

С помощью подстановки

уравнение (111.2) приводится к уравнению Куммера

регулярное решение которого имеет вид

Нормировочную постоянную а, мы выберем позднее. Асимптотику решения (111.6) можно найти непосредственно с помощью формулы (110.8) предыдущей задачи. Полагая

получаем

Подставляя это выражение в формулу (111.4) и выбирая постоянную в виде

находим, что функция

имеет асимптотику вида

Теперь наша задача состоит в том, чтобы выразить определенную в предыдущей задаче функцию и в виде ряда (111.1) с функциями заданными формулами (111.8) — (111.10). Функция и, записанная в сферических координатах, выглядит следующим образом:

Обращая ряд (111.1), находим

Если теперь подставить сюда выражение (111.11) и ввести новую переменную

то нетрудно получить соотношения

и

При этом мы учли, что с помощью тождества

выражение

приводится к виду

Таким образом, наша задача теперь сводится к вычислению интегралов в частности, при условии Это можно сделать с помощью повторного интегрирования по частям, если принять во внимание тождество

В результате -кратного интегрирования по частям в подынтегральном выражении заменится производной

(через мы обозначаем производную по его аргументу). Но представляет собой полином степени I, поэтому процедура интегрирования по частям оборвется на 1-й шаге. Детали этого расчета даны в приложении, помещенном в конце задачи, а результат при имеет вид

Если то оба члена в фигурных скобках имеют одинаковый порядок величины, в противном случае вклад дает лишь второй член. С помощью приведенного в приложении равенства (111.22) после небольших преобразований получаем

Можно показать, что коэффициент в квадратных скобках равен

и, следовательно,

Подставляя это выражение в равенство (111.14) и используя асимптотику (111.10) для функции получаем

поэтому окончательно искомое разложение при больших принимает вид

Заметим, что в известном смысле волновая функция (111.11) и ее разложение по парциальным волнам аналогичны плоской волне и ее разложению по парциальным волнам. Если исключить влияние кулоновского поля, положив то, согласно равенству (111.7), мы будем иметь следовательно, функция определяемая выражением (111.9), перейдет в сферическую функцию Бесселя, а волновая функция и и разложение (111.20) соответственно перейдут в плоскую волну и ее разложение по парциальным волнам.

Приложение. Ниже вместо мы будем просто писать Однократное интегрирование по частям дает

Повторяя эту процедуру раз, получаем

На верхнем пределе, когда все и выражение в фигурных скобках обращается в нуль. Таким образом, у нас остается только вклад от

нижнего предела, где и аргументы полиномов Лежандра равны —1, поэтому имеем

При имеет место асимптотическая формула

Первый член в ней пропорционален а второй — . В сумме (111.21) значение ограничено интервалом —1 поэтому ее асимптотическое выражение будет определяться первым членом слагаемого с и вторым членом слагаемого с так что в результате мы получим формулу (111.17), приведенную выше.

Значения производных полиномов Лежандра легко получить, воспользовавшись соотношением

где

Дифференцируя обе части этого равенства раз по и полагая затем находим

и, следовательно,

а