Задача 68. Потенциал Хюльтена
Решить уравнение Шредингера и определить уровни энергии в случае так называемого потенциала Хюльтена
при 
Решение. Мы будем пользоваться безразмерной переменной
и введем обозначения
причем будем считать, что 
Радиальное дифференциальное уравнение для функции 
теперь можно записать в виде
Замена переменной
позволяет сделать коэффициенты уравнения рациональными функциями:
Мы должны решить это уравнение при граничных условиях:
Решение находится с помощью подстановки
в результате которой уравнение (68.5) приводится к гипергеометрическому уравнению
Общее решение этого уравнения имеет вид
где
Первое граничное условие (68.6а) при 
дает 
Второе граничное условие (68.66) требует более тщательного анализа в окрестности точки 
. Это нетрудно сделать, воспользовавшись тождеством
где 
Так как далее
то первый член в точке 
в пределе 
становится равным
Поскольку
первый член будет конечным, если и только если
В знаменателе второго члена имеется множитель
поэтому этот член обращается в нуль, за исключением случая 
когда он равен
и, следовательно, расходится при 
Таким образом, мы приходим к выводу, что при 
граничное условие (68.66) не выполняется и поэтому собственные значения определяются из условия
а принадлежащие им (ненормированные) собственные функции имеют вид
Отметим, что в этом случае гипергеометрический ряд вырождаете в полином относительно переменной 
Из условия (68.10) получаем
Фиг. 39. Кулоновский потенциал и потенциал Хюльтена с одинаковыми сингулярностями. Обратите внимание на сдвиг энергетических уровней
Так как 
то по необходимости должно выполняться неравенство
Оно означает, что для существования дискретных уровней энергии размеры потенциальной ямы должны превышать некий минимум, определяемый равенством 
Точнее говоря, неравенство (68.13) определяет число связанных состояний, реализующихся в потенциальной яме данных размеров. Используя равенства
(68.26), соотношение (68.12) можно записать в виде
Потенциал Хюльтёна при малых значениях 
ведет себя наподобие кулоновского потенциала
а при больших значениях 
он убывает экспоненциально, поэтому в хюлтеновскую потенциальную яму "вмещается" меньше связанных состояний, чем в кулоновскую. На фиг. 39 представлены для сравнения оба потенциала при числовом значении 
кулоновский потенциал изображен слева, а потенциал Хюльтёна — справа. Здесь же показаны энергетические уровни: кулоновские уровни всегда располагаются ниже хюлтеновских, число которых остается конечным (в нашем примере их всего пять).
