Задача 8. Дифференцирование оператора
Пусть 
целая функция операторов 
Показать, что из коммутационных правил следуют соотношения
где в целях сокращения введено обозначение
Решение. Канонические коммутационные правила задаются формулами
Доказательство справедливости соотношений (8.1) и (8.2) распадается на четыре последовательные стадии.
1. Пусть 
тогда 
Следовательно, соотношения (8.1) и (8.2) принимают вид
и, таким образом, согласуются с формулами (8.3). Аналогично устанавливается их справедливость и в случае, когда 
2. Пусть соотношения (8.1) и (8.2) справедливы для функций 
но тогда в силу линейности они будут справедливы и для всякой линейной комбинации 
произвольными комплексными числами и 
3. Будучи справедливыми для функций 
эти соотношения справедливы и для их произведения 
. В случае (8.1) это легко проверить непосредственными вычислениями
Аналогичные выкладки нетрудно провести и в случае соотношения (8.2).
4. Из предыдущего следует, что рассматриваемые соотношения справедливы для произвольной линейной комбинации произведений, содержащих любое число сомножителей 
Но тем самым они справедливы для любой целой функции переменных 
что и требовалось доказать.
