Задача 5. Закон сохранения энергии

Пусть энергия шредингеровского волнового поля описывается интегралом (2.5) из задачи 2, в этом случае закон сохранения энергии должен иметь вид

где плотность энергии, -плотность потока энергии. Требуется вывести указанный закон сохранения, сконструировав подходящий вектор Умова — Пойнтинга

Решение. Как было найдено, согласно (2.5)

где

Здесь первый член — плотность кинетической, а второй — плотность потенциальной энергий. В соответствии с уравнением (5.1) нам нужна производная

Так как

и

то мы можем преобразовать ту часть выражения (5.4), которая

обусловлена кинетической энергией, и написать

Уравнения Шредингера (3.4) позволяют нам в последних слагаемых заменить пространственные производные и потенциал производными по времени. Результирующие члены в точности сокращаются друг с другом:

так что уравнение (5.5) действительно совпадает по форме с уравнением (5.1), а искомый вектор Умова — Пойнтинга равен