Задача 38. Потенциальная яма Пешля — Теллера

Решить уравнение Шредингера с потенциалом

где Ограничиться рассмотрением интервала на границах которого потенциал обращается в бесконечность.

Фиг. 22. Три различные потенциальные ямы Пешля — Теллера, соответствующие Потенциальная яма симметрична только при

Решение. Потенциал (38.1) показан на фиг. 22 для случая и нескольких значений Если то яма оказывается симметричной по отношению к прямой если же то яма перекашивается таким образом, что ее минимум сдвигается в сторону больших значений х. При минимум ямы сдвигается в противоположную сторону, а имеющаяся в точке сингулярность становится менее четко выраженной и наконец совершенно исчезает, когда . В этом случае потенциальные ямы, имеющиеся в интервалах объединяются в одну потенциальную яму большего размера. Рассмотрение последней можно свести, однако, к случаю

если воспользоваться тождеством

и, кроме того, заменить а на и на .

Разумеется, потенциал (38.1) является периодическим, но практически это несущественно для решений уравнения Шредингера, так как между соседними ямами имеются непроницаемые барьеры, обусловленные сингулярностями потенциала Таким образом, можно ограничиться рассмотрением одной единственной потенциальной ямы, скажем в интервале и решать в этом интервале уравнение Шредингера с граничными условиями

Путем замены независимой переменной

уравнение Шредингера приводится к виду

где

Это дифференциальное уравнение имеет три регулярные особые точки, поэтому подстановкой

и надлежащим выбором значений оно приводится к гипергеометрическому уравнению. В самом деле, положив

получаем

Общее решение этого уравнения имеет вид

где

В выражении (38.8) мы еще должны определить постоянные интегрирования так, чтобы выполнялись граничные условия (38.2), которые, если пользоваться переменной у, гласят

В точке оба гипергеометрических ряда обращаются в единицу, поэтому

Так как то у второго слагаемого имеется сингулярность, отсюда следует, что Чтобы рассмотреть случай воспользуемся преобразованием

Так как то второе слагаемое в этом выражении дает вклад в решение и в окрестности точки

При показателе

этот вклад сингулярен, и граничному условию можно удовлетворить только в том случае, когда во втором слагаемом обращается в нуль множитель, содержащий -функции, другими словами, лишь тогда, когда либо а, либо - целое отрицательное число. Если

то в силу равенства (38.9)

и, следовательно, - положительное число. Если же то Так как при замене параметра а параметром волновая функция не меняется, то оба условия приводят к тому же самому решению. Заменяя в равенстве (38.10) параметр а его выражением (38.9), получаем следующую формулу для

собственных значений:

Соответствующие им собственные функции имеют вид

где постоянную следует выбрать сообразно условию нормировки. На фиг. 23 показана зависимость энергетических уровней от параметра асимметрии х при Сопоставляя приведенные результаты с кривыми потенциальной энергии, изображенными на фиг. 22, мы видим, что, чем уже потенциальная яма, тем выше, как и следовало ожидать, располагаются энергетические уровни. Если то собственные значения (38.11) приближенно описываются формулой соответствующей случаю прямоугольной потенциальной ямы. Этот результат также вполне разумен, поскольку по мере роста энергии искривление дна потенциальной ямы должно играть все меньшую и меньшую роль.

Фиг. 23. Зависимость энергетических уровней от параметра асимметрии и для потенциалов Пешля — Теллера

Замечание. Вблизи минимума кривую потенциальной энергии приближенно можно заменить параболой, т. е. потенциалом осциллятора. Ограничиваясь случаем когда потенциал имеет минимум в точке и вводя переменную

имеем

Положим далее множитель при равным тогда

Если теперь пренебречь отклонением нашего потенциала от потенциала гармонического осциллятора, то допустимые значения энергии будут равны

или

Это приближение, разумеется, оправдано только в том случае, если в классических точках поворота величина гораздо больше другими словами, если

Этот результат является точным в пределе при постоянном

Литература

(см. скан)