Задача 94. Радиальное интегральное уравнение

Заменить радиальное уравнение Шредингера

где

интегральным уравнением. Каким образом превратить это уравнение в интегральное уравнение с симметричным ядром? Как записать интегральное выражение для асимптотического значения фазы волновой функции Как связано решение этого уравнения, найденное методом последовательных приближений, с последовательными борновскими приближениями?

Решение. Уравнение (94.1) формально можно записать в виде неоднородного дифференциального уравнения

где

а выражение можно рассматривать в качестве неоднородности. Однородное уравнение

имеет фундаментальную систему решений

Общее решение неоднородного уравнения (94.2) представляет собой суперпозицию общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, причем последнее определяется функцией Грина Таким образом, имеем

Функция Грина определяется как решение уравнений

и ее можно взять, например, в виде

Так как нас интересует только волновая функция регулярная в точке то в равенстве (94.5) мы должны положить кроме того, мы можем выбрать такую нормировку, при которой В результате искомое интегральное уравнение приобретает вид

Теперь можно перейти к ответам на вопросы, поставленные в условии задачи.

а. Симметричное ядро. Неоднородное интегральное уравнение (94.7) имеет несимметричное ядро Однако с помощью подстановки

оно преобразуется в уравнение

с симметричным ядром

В преимуществах такого преобразования позволяет убедиться задача 95.

б. Асимптотическое значение фазы. Если нас интересует решение интегрального уравнения (94.7) при больших значениях то мы можем во всей области интегрирования пользоваться тем выражением функции Грина из (94.6), которое написано для Эта возможность обусловлена наличием под знаком интеграла множителя благодаря которому основной вклад в интеграл происходит от области 0 где величина порядка атомных размеров. С учетом изложенных соображений получаем

Последнее выражение можно записать по-иному:

где асимптотическое значение фазы 6, определяется интегралом

в. Последовательные приближения. Эти приближения к решению нашего интегрального уравнения имеют вид последовательности Неймана:

Можно показать, что рекуррентная формула (94.14в) с точностью до нормировочных постоянных совпадает с формулой -го борцовского приближения (см. задачу 105):

Чтобы убедиться в эквивалентности соотношений (94.14в) и (94.15), разложим функции, фигурирующие в (94.15), по

парциальным волнам. Мы имеем (см. задачи 81 и 82)

и

кроме того,

где

а у — угол между векторами

Выделим теперь из рекуррентного соотношения (94.15) 1-ю парциальную волну. Для этого умножим обе части (94.15) на и проинтегрируем по всем направлениям вектора Учитывая, что

в результате получаем

В последнем интеграле вместо функции мы можем взять ее разложение, аналогичное разложению (94.16). Это даст

Полученное рекуррентное соотношение уже очень похоже на соотношение (94.14в). Чтобы убедиться в их идентичности, заменим сферическую функцию Ханкеля в выражении для в соответствии с ее определением

В результате имеем

где через обозначена функция Грина, определенная равенством (94.6). Первый член выражения (94.20) приводит к интегралу, который пропорционален и его можно объединить с первым членом в правой части (94.19), поэтому

причем постоянная А определяется равенством

Если отвлечься от этой постоянной, которая ведет лишь к некоторому изменению нормировки, то последнее соотношение действительно идентично рекуррентной формуле (94.14в).

Замечание. Если сравнивать точное интегральное уравнение (94.7) для функции с точным интегральным уравнением

то для этого достаточно в (94.21) опустить верхние индексы . Полагая теперь

мы видим, что интегральное уравнение, аналогичное уравнению (94.21), преобразуется в уравнение (94.7), а формула (94.22) заменяется формулой

Эту формулу можно упростить, воспользовавшись соотношением (94.13):

или

Разложение (94.16), если учесть асимптотическую формулу (94.12), теперь дает

что находится в полном согласии с найденной ранее формулой (82.9).