Задача 13. Криволинейные координаты

В уравнении Шредингера для системы точечных масс сделать переход к обобщенным криволинейным координатам.

Решение. Самое главное в этой задаче — преобразовать оператор кинетической энергии

где имеет одно и то же значение для каждой тройки слагаемых, соответствующих одной частице. Выражение (13.1) представляет собой квантовомеханический аналог классического выражения

Введем вместо координат х координаты

тогда

Произведя теперь в -пространстве с элементом длины

замену координат на обобщенные координаты и учитывая, что в новых координатах

получаем

Вернемся к квантовой механике. Выражение (13.1) эквивалентно выражению

Далее из дифференциальной геометрии известно, что при замене координат координатами оператор Лапласа преобразуется

к виду

где - определитель метрического тензора -его контр авар иантные компоненты. Последние можно найти из соотношения

в котором означает алгебраическое дополнение элемента в определителе Равенством (13.9) полностью исчерпывается решение нашей задачи, так как теперь оператор кинетической энергии, соответствующий классическому выражению (13.7), можно записать в виде

Вычисление потенциальной энергии, разумеется, тривиально.

Замечание. Этот метод применим и к тем задачам, в которых не фигурируют прямоугольные координаты точечных масс. В этом случае он просто связывает классическое выражение (13.7) с оператором (13.11). Однако указанную связь ни в коем случае нельзя считать тривиальной (см. замечания к теории симметричного волчка в задаче 46).