Задача 72. Потенциал Юкавы
Дан потенциал Юкавы
соответствующий наличию притяжения между двумя частицами (например, между двумя нуклонами). В рамках вариационной процедуры Ритца найти для случая 
оптимальное решение, используя пробную волновую функцию
где
а 
— вариационный параметр Ритца. При каком минимальном размере потенциальной ямы возможно существование связанных состояний? (В системе центра масс проблема сводится к одночастичному уравнению Шредингера с приведенной массой 
, см. задачу 150.)
Решение. Прежде всего найдем постоянную С с помощью условия нормировки
Отсюда имеем
Среднее значение энергии 
представляет собой сумму двух интегралов:
Элементарное интегрирование дает
Для дальнейшего удобно ввести безразмерные переменные
Первая из них представляет собой отношение среднего радиуса потенциальной ямы к среднему радиусу той области, где волновая функция заметно отличается от нуля, вторая же характеризует эффективный размер потенциальной ямы. Теперь мы можем преобразовать равенство (72.5) к виду
Используя в качестве вариационного параметра вместо величины а величину 
получим оптимальное решение из условия 
которое сразу же дает
Если теперь выражение (72.8) подставить в формулу (72.7), то
оптимальное значение энергии будет равно
Так как величина 
по определению положительная, то связанные состояния могут существовать только в том случае, когда 
или, как это следует из формулы (72.8), когда 
. В рассматриваемом приближении этим неравенством и определяется минимальный размер потенциальной ямы, в которой возможно существование связанных состояний. Ниже мы приводим цифровые данные, полученные по формулам (72.8) и (72.9).
(см. скан)
Замечание. Использованное приближение является довольно хорошим. Если пробную функцию (72.1) заменить менее удачной функцией
то вариационная процедура даст
Очевидно, в этом случае связанные состояния могут существовать только при условии 
т. е. для значений
