Задача 25. Прямоугольная потенциальная яма

Найти связанные состояния и соответствующие им собственные значения в случае прямоугольной потенциальной ямы

Решение. Результаты двух предыдущих задач позволяют без труда разобраться в поведении состояний с положительной энергией, поэтому достаточно рассмотреть случай отрицательных энергий, соответствующих связанным состояниям.

Потенциал инвариантен по отношению к инверсии так что решения обязаны быть либо четными, либо нечетными (см. задачу 20). Положив

можно записать эти решения в следующем виде: четные

нечетные

Выше амплитуды внутри и вне потенциальной ямы были выбраны таким образом, чтобы функция и оставалась непрерывной в точке Нормировочная постоянная была определена из условия

Требование непрерывности и в точке дает еще условие: четные

или

нечетные

или

С помощью соотношений (25.4) и (25.2) можно упростить выражения для нормировочных постоянных, получая в обоих случаях одно и то же равенство:

Чтобы из уравнений (25.4) можно было найти собственные значения, заменим в правых частях этих уравнений величину х в соответствии с выражением (25.2) и введем обозначение

В результате получим

четные

нечетные

При данном потенциале величина С является постоянной, зависящей лишь от размеров ямы и уравнения (25.7а) и (25.76) дают возможность определить все значения а тем самым и все значения энергии

реализующиеся в яме данных размеров.

Фиг. 7. Графическое решение уравнений (25.7а) и (25.76). На фигуре показаны точки пересечения кривых, изображающих правые части уравнений при различных значениях параметра С, с тангенсоидой Кривые с положительньми ординатами относятся к четным состояниям, кривые с отрицательными ординатами — к нечетным.

На фиг. 7 , а также правые части уравнений (25.7а) и (25.76) показаны как функции переменной Собственные значения находятся как абсциссы точек пересечения двух последних кривых с тангенсоидой. Упомянутые кривые, разумеется, зависят от параметра С, определяемого размерами ямы. Начав, например, со значения мы получаем одну точку пересечения, обозначенную буквой а, в четном случае и вообще не получаем ни одного пересечения в нечетном случае. Следовательно, в яме такого размера имеется не более одного связанного состояния с положительной четностью. Эта яма с соответствующим уровнем показана на фиг. 8,а. Для ямы больших

размеров, кривые на фиг. 7 пересекаются в точке по-прежнему имеется только одно состояние с положительной четностью (фиг. 8,б), причем поскольку Если еще увеличить размер ямы, взяв, например, то пересечение в точке у даст еще более низкое состояние с положительной четностью но, кроме того, к нему добавится состояние с отрицательной четностью, соответствующее пересечению в точке а (фиг. 8,в).

Фиг. 8. Энергетические уровни в потенциальных ямах при различном значении характеристического параметра С. Сплошные линии — состояния с положительной четностью, пунктирные линии — состояния с отрицательной четностью.

С дальнейшим увеличением размеров ямы ее "вместимость" возрастает (фиг. 8, г-е): число связанных состояний растет линейно с ростом С, образуя чередующиеся серии состояний с положительной и отрицательной четностью. Что касается собственных функций, то они следуют общему правилу: чем больше у них нулей, тем выше их положение на шкале энергий. Волновые функции четырех низших состояний показаны для случая на фиг. 9.

В классической механике частица могла бы колебаться между стенками (точки ), ограничивающими яму, при любом значении энергии. Вне ямы ее кинетическая энергия была бы отрицательна, поэтому область вне ямы классически недостижима. В квантовой механике мы не имеем такого жесткого ограничения. Вероятность обнаружить частицу внутри ямы

оказывается меньше единицы:

Таким образом, имеется конечная вероятность того, что частица находится снаружи.

Фиг. 9. Энергетические уровни и собственные функции для случая Сплошные линии — состояния с положительной четностью, пунктирные линии — состояния с отрицательной четностью.

Для всякого конечного интервала вне ямы вероятность убывает экспоненциально, как опо мере увеличения расстояния между частицей и ямой.