Задача 35. Ангармонический осциллятор
Оценить энергетические уровни ангармонического осциллятора
в первом и втором порядке теории возмущений.
Решение. В первом порядке теории возмущений сдвиг уровней гармонического осциллятора с энергией
и нормированными собственными функциями
определяется диагональными матричными элементами энергии возмущения:
Так как 
четная функция х, то член 
не дает вклада в первую поправку 
Таким образом, первая поправка равна
и ее можно вычислить тем же приемом, что и нормировочный интеграл: заменить один из полиномов Эрмита 
в подынтегральном выражении, согласно формуле
и произвести 
-кратное интегрирование по частям. В результате получим
Многочлен 
степени, который требуется продифференцировать 
раз, начинается с членов
поэтому
Учитывая значения хорошо известных интегралов
окончательно приходим к выражению
Результат первого порядка теории возмущений можно качественно пояснить следующим образом. Малая добавка к потенциалу 
вызывает небольшую асимметрию параболы 
но еще не меняет для низко лежащих уровней ее ширины. Следовательно, движение осциллирующей массы происходит в области таких же размеров, что и в случае гармонического осциллятора, поэтому нет причин, которые вызывали бы изменение энергии.
Добавочный же член 
при 
симметричным образом поднимает (опускает) обе ветви параболы, тем самым уменьшая (увеличивая) ширину параболы и размеры области движения даже для самых малых энергий, поэтому все энергетические уровни смещаются вверх (вниз) в согласии со знаком правой части формулы (35.8).
Во втором порядке теории возмущений к энергиям (35.2) и (35.8) мы должны добавить поправку
Для осциллятора отличны от нуля только следующие недиагональные матричные элементы [они вычисляются тем же методом, который использовался при вычислении поправки (35.8)]:
и
С учетом значений этих матричных элементов общая формула
Если теперь ввести обозначения
то выражение для энергии с точностью до членов второго порядка включительно принимает вид
Значения коэффициентов для четырех низших уровней приведены в таблице:
(см. скан)
Следовательно, положение последних теперь нетрудно рассчитать. Для возмущения 
оно показано на фиг. 20 в зависимости от безразмерного параметра 
Так как в данном случае эффект первого порядка отсутствует, то кривые, характеризующие положение уровней, представляют собой параболы с вершинами на прямой 
Отрицательный знак возмущения обусловлен тем, что описывающая потенциал парабола уширяется в области более высоких значений 
где пренебречь этим эффектом уже нельзя. Роль эффекта уширения все более возрастает по мере продвижения в область высоких энергий, где даже второй порядок теории возмущений становится все менее надежным. В точке 
у потенциальной энергии имеется максимум 
поэтому для энергий 
дискретные уровни перестают существовать: эффект, который нашим приближением не учитывается
Приведенные кривые в целом показывают, что чем выше энергия уровня, тем меньше значения параметра 
характеризующего возмущение, для которых используемое приближение дает надежные результаты. Это же подтверждает и фиг. 21, где
пунктирные и сплошные линии относятся соответственно к поправкам первого и второго порядков. Разумеется, на результаты второго приближения совершенно нельзя полагаться там, где соответствующие поправки, достигнув максимума, начинают убывать.
Фиг. 20. Энергетические уровни ангармонического осциллятора с асимметричным возмущением. Вклады отвозмущения возникают только во втором приближении. Линия 
грубо характеризует область применимости использованного приближения.
Фиг. 21. Энергетические уровни ангармонического осциллятора с симметричным возмущением. Пунктирные линии соответствуют одному первому приближению, сплошные лниии построены с учетом второго приближения.
