Задача 108. Борновское приближение для рассеяния на сферически симметричном распределении заряда

В первом борновском приближении вычислить дифференциальное сечение рассеяния электронов на ядрах, считая, что плотность электрического заряда ядра сферически симметрична. Полученные результаты применить к случаю, когда заряд распределен по объему ядра с постоянной плотностью.

Решение. Если рассеиваемой частицей является электрон с зарядом — то уравнение Пуассона классической электростатики, связывающее потенциал и плотность можно записать в виде

Плотность заряда ядра положительна и нормирована в соответствии с условием

В первом борновском приближении амплитуда рассеяния определяется формулой

Необходимо отметить, что вне ядра

и поэтому интеграл при бесконечном верхнем пределе, строго говоря, не имеет смысла. Указанная трудность легко устраняется, если в подынтегральное выражение ввести обрезающий множитель а затем в окончательном результате положить это впервые было показано Вентцелем. Физическим основанием этой несколько сомнительной математической процедуры может служить экранирующее действие атомных электронов.

Рассмотрим тождество, полученное двукратным интегрированием по частям:

Благодаря математическому трюку Вентцеля подстановка на верхнем пределе обращается в нуль. В окрестности точки функция должна иметь вид

поэтому Следовательно, вклад от подстановки будет равен Но точно такой же вклад даст подстановка и в интеграл, комплексно сопряженный с только что рассмотренным, поэтому в разности этих интегралов, которая равна интегралу, фигурирующему в формуле (108.3), вклада от подстановки содержаться не будет. Что касается интегрального члена, то в нем производную можно заменить правой частью уравнения (108.1). Это даст

Здесь уже никаких трудностей с расходимостью не возникает.

Если бы ядро можно было рассматривать как точечное, то вклад в интеграл происходил бы от малой окрестности точки и мы могли бы воспользоваться непосредственно формулой (108.2), поэтому амплитуда рассеяния в этом случае была бы равна

Учитывая, что

последнее выражение можно записать в виде

Отсюда для дифференциального сечения рассеяния получается известная формула Резерфорда

Выражению (108.4) можно придать иную форму:

где формфактор

Он характеризует отклонение сечения рассеяния от резерфордовского:

В качестве простейшего примера рассмотрим случай, когда заряд ядра распределен с постоянной плотностью внутри сферы радиусом Для такого распределения условие нормировки (108.2) и формфактор соответственно имеют вид

и

или

При изменении угла в интервале аргумент сферической функции Бесселя меняется от 0 до Если учесть, что для применимости борновского приближения должно выполняться неравенство то указанный интервал оказывается довольно большим и функция Бесселя должна в нем иметь несколько нулей. Таким образом, вместо монотонно убывающего с ростом угла резерфордовского сечения рассеяния мы теперь будем иметь последовательность дифракционных максимумов, так же как это бывает в аналогичных задачах классической оптики. Число

максимумов при условии, что все они разрешимы, позволяет получить грубое представление о размере ядра.

Замечание. Если считать, что потенциальная энергия нейтрона в поле, созданном другим нуклоном, приближенно описывается потенциалом Юкавы

то для описания взаимодействия нейтрона с ядром, плотность частиц в котором равна можно написать дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению Пуассона:

Условие нормировки теперь имеет вид

где — атомный вес ядра. В математическом трюке Вентцеля в данном случае нет необходимости, и без него интегрирование по частям дает

Если воспользоваться уравнением (108.13), то последнюю формулу можно записать в виде

и, следовательно,

В случае точечного ядра имеем

а для протяженного ядра должно быть

где формфактор

по существу определяется тем же выражением, что и раньше.