для двух изотопов с атомными весами 
пользуясь для радиуса ядра формулой
Эффектом экранировки 
-электрона пренебречь.
Решение. Энергия взаимодействия электрона с ядром имеет
Начнем с невозмущенной задачи о движении электрона в поле точечного ядра 
. В этом случае
Здесь 
и 
-соответственно волновая функция и энергия основного состояния кеплеровской проблемы (см. задачу 67). Энергия возмущения равна разности
Отсюда для сдвига энергетического уровня получаем
В области интегрирования показатель 
всегда меньше 
поэтому в подынтегральном выражении (73.5) мы можем положить
Используя далее величину 
в качестве переменной интегрирования, после элементарных вычислений получаем
где 
означает боровский радиус. В случае 
формула (73.3) дает
Полный сдвиг уровня 
для изотопа с атомным весом 
согласно формулам (73.1) и (73.6), оказывается равным
Изотопический сдвиг, т. е. разность между значениями 
в случае 
и в случае 
получается отсюда дифференцированием:
Для рассматриваемого примера это приводит к значению
В то время как абсолютное значение энергии 
-оболочки, согласно формуле (73.8), сдвигается вверх на вполне заметную величину 
разностный эффект для соседних изотопов 
(который можно было бы обнаружить по расщеплению 
-линии рентгеновского излучения, будь он достаточно велик) составляет, согласно (73.9), менее одной миллионной.
Замечание. Эффект экранировки, конечно, значительно больше рассмотренных сдвигов, однако он совершенно одинаков для обоих изотопов. Эксперимент для границы 
-линии таллия дает значение 6310 ридберг, или 
вместо нашего неэкранированного значения (73.7). Что касается изотопического расщепления, то оно почти не зависит от этой поправки.
-электрона примерно в 100 раз превышает радиус ядра 
Следовательно, благодаря конечному размеру ядра энергетический уровень К-электрона должен претерпеть небольшое смещение. Рассчитать указанное смещение, считая электрический заряд равномерно распределенным по объему ядра. Кроме того, определить изотопическое смещение границы рентгеновского К-излучения таллия 
