Задача 83. Рассеяние при низких энергиях

Разложение амплитуды рассеяния по сферическим гармоникам сходится тем лучше, чем меньше параметр Убедиться в справедливости этого утверждения прямым вычислением коэффициентов при и получить разложение коэффициентов по степеням х, считая, что коэффициент мал и им можно пренебречь.

Решение. Мы начнем с формулы (82.126) предыдущей задачи:

Воспользуемся определениями

и заменим сферические функции Ханкеля функциями и для которых степенные разложения имеют вид

где

Если то достаточно учесть только первый член каждого ряда. В этом случае имеем

следовательно,

поэтому из формулы (83.1) с учетом соотношений (83.2в) вытекает

В этой формуле сохранен лишь основной член, а все более высокие степени х отброшены.

Как мы знаем, для амплитуды рассеяния имеет место разложение

При этот ряд очень хорошо сходится, так как в силу формулы (83.3)

Если характер сходимости ряда (83.4) позволяет пренебрёчь членом с то, согласно равенству (83.3), это эквивалентно тому, что в амплитуде рассеяния мы пренебрегаем членами с и более высокими степенями х. В этом случае с помощью рядов (83.26) удается получить разложение коэффициентов, с точностью до включительно. Однако тот же самый результат можно получить значительно проще, рассмотрев непосредственно функции

и

Если вместо равенства (83.1) воспользоваться эквивалентным ему равенством (82.14) предыдущей задачи,

то для интересующих нас коэффициентов получатся следующие точные выражения:

и

Разлагая эти выражения в ряд и ограничиваясь требуемой степенью точности, находим

и

В разложении коэффициента член, пропорциональный отсутствует. В том случае, когда член с начинает только-только сказываться, мы должны для получения достаточной степени точности удерживать в разложении (83.8а) три или даже четыре члена, в связи с этим часто оказывается проще вместо формулы (83.8а) пользоваться точным соотношением (83.7а).