Задача 14. Волновые функции в импульсном представлении
Фурье-образ 
волновой функции 
характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии Требуется вывести интегральное уравнение для 
с фурье-образом потенциала в качестве ядра.
Решение. Между функциями 
имеются два взаимно обратных соотношения
Положим далее
тогда для фурье-образа потенциала будем иметь
Предполагается, что волновая функция 
удовлетворяет уравнению Шредингера
Подставляя сюда вместо и V соответственно выражения (14.1) и (14.3), получаем
В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной 
к интегрированию по переменной 
а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством 
Интеграл по 
обращается в нуль при любом значении 
лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда
Это и есть искомое интегральное уравнение с фурье-образом потенциала 
в качестве ядра.
Конечно, интегральное уравнение (14.6) можно получить только при условии, что фурье-образ потенциала (14.4) существует; для этого, например, потенциал 
должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как где 
Необходимо отметить, что из условия нормировки
следует равенство
Это можно показать, подставив в (14.7) выражение (14.1) для функции
Если здесь сначала выполнить интегрирование по 
то мы без труда получим соотношение (14.8).
