Задача 87. Вклад состояний с высшими значениями момента количества движения

Для потенциала, рассмотренного в предыдущей задаче, вычислить фазы рассеяния и парциальные сечения рассеяния вплоть до значений

Решение. При любом значении I радиальную волновую функцию можно записать в виде

Так как при сферические цилиндрические функции имеют асимптотику

то выражение (87.16) приводит к следующей асимптотической

формуле для функции

Следовательно, есть фаза рассеяния 1-й парциальной волны, а соответствующее парциальное сечение

Для определения фазы рассеяния мы снова воспользуемся граничными условиями в точке где функция должна быть непрерывна, а ее логарифмическая производная, имеет скачок, равный по величине Таким образом, имеем

Здесь а штрих означает производную по аргументу

Уравнение (87.5) позволяет получить для фазы рассеяния выражение вида

которое можно подставить в соотношение (87.4) с тем, чтобы найти явное выражение для амплитуды

Фиг. 50. Фаза рассеяния и сечение рассеяния в случае сферической полости с учетом вклада высших моментов. Пик при еще можно заметить.

При сферические цилиндрические функции сводятся соответственно к и по а формулы (87.4) и (87.6) точно переходят в формулы предыдущей задачи.

На фиг. 50, а показаны фазовые кривые, соответствующие значениям Расчеты проводились для случая а значения х брались в интервале Все фазовые кривые зависят от аналогичным образом, и основное различие между ними состоит в том, что при малых х по мере роста они все медленнее удаляются от прямой При низких энергиях

вклад дают только центральные столкновения с Начиная со значений и выше становится существенным вклад волны с а со значений и волны с На кривых парциальных сечений для заметны небольшие резонансные пики (фиг. 50,б), однако на плавно меняющейся суммарной кривой они проявляются лишь в виде небольших возвышений. (Резкий спад этой кривой справа от точки обманчив: на самом деле здесь уже велик вклад от неучтенной нами волны с