Задача 113. Преобразование Зоммерфельда — Ватсона
Пусть амплитуда рассеяния
записана в виде контурного интеграла в плоскости комплексной Переменной I в предположении, что каждый член суммы (113.1)
есть вычет подынтегрального выражения в точке с целочисленным значением 
Считая, что 
-мероморфная функция переменной I, представить этот интеграл в виде суммы полюсных членов и интеграла, взятого по прямой, параллельной мнимой оси и проходящей через точку 
Решение. Целесообразно переменную 
заменить комплексной переменной
Тогда формулу (113.1) можно заменить равенством
где контур интегрирования С показан на фиг. 60. Действительно, функция
имеет простые полюсы во всех целочисленных точках l = 0, ±1, ±2, ... (т. е. в точках 
и ее вычеты в них равны 
Если остальные сомножители подынтегрального выражения (113.3) регулярны на положительной действительной полуоси, то интеграл по контуру С можно заменить суммой интегралов, каждый из которых берется в направлении часовой стрелки (множитель 
по малой окружности с центром в одном из упомянутых полюсов. Таким образом, имеем
С учетом четности полиномов Лежандра:
выражение (113.4) в точности переходит в формулу (113.1).
Фиг. 60. Контур интегрирования в комплексной плоскости переменной 
Деформируем теперь контур интегрирования в комплексной плоскости X таким образом, чтобы он проходил по мнимой оси и замыкался бесконечной полуокружностью, лежащей в правой полуплоскости. Последняя не будет давать вклад в интеграл, если подынтегральная функция убывает на ней по крайней мере как что и предполагается всюду в дальнейшем. В результате у нас остается вклад от интеграла по мнимой оси и вклад от всех полюсов, которые расположены в правой полуплоскости и которые наш контур пересекал в процессе деформации. Пусть
эти полюсы располагаются в точках 
и пусть вычеты функции 
равны в них тогда вклад полюсных членов в амплитуду рассеяния будет иметь вид
Что касается интегрального члена, то с помощью замены переменной
где у — действительная величина, его можно записать следующим образом:
Мы видим, что амплитуда рассеяния 
действительно разбивается на две существенно различные части:
Замечание. Полюсы амплитуды рассеяния 
в плоскости комплексной переменной I называют полюсами Редже, а линии, по которым они перемещаются в этой плоскости при изменении энергии, - траекториями Редже. Важность полюсов Редже обусловлена тем, что они дают в наше распоряжение альтернативную возможность описать взаимодействие между сталкивающимися частицами, которое обычно описывается с помощью потенциала. Если положение полюсов 
и вычеты в них амплитуды рассеяния 
известны, то рассеяние можно описать с помощью этих параметров. Этот метод, по-видимому, должен быть особенно удобен в физике элементарных частиц, так как экспериментальные данные свидетельствуют о наличии резко выраженных резонансных состояний (промежуточные частицы или резононы). Конечно, там приходится иметь дело с очень высокими энергиями, и вся теория должна быть сформулирована релятивистским образом. Что касается нерелятивистской теории, то ее можио использовать в ядерной физике для описания компаунд-ядра.
