Задача 54. Тензор квадрупольного момента. Сферические гармоники

Тензор квадрупольного момента определяемый соотношением

является симметричным тензором со следом, равным нулю, и, следовательно, он имеет пять линейно независимых компонент. Эти компоненты (с точностью до множителя можно представить в виде линейной комбинации пяти сферических гармоник второго порядка. Воспользовавшись найденными в задаче 53 перестановочными соотношениями, вычислить перестановочные соотношения сферических гармоник с компонентами оператора момента количества движения.

Решение. Сферические гармоники можно выразить через декартовы координаты:

Эти хорошо известные формулы позволяют выразить сферические гармоники через компоненты тензора квадрупольного момента:

Чтобы вычислить интересующие нас коммутаторы, воспользуемся теперь равенствами (53.6) — (53.8).

Так как ось является полярной осью сферических гармоник, то мы начнем с равенств (53.8), которые с учетом того, что есть соответствующая проекция момента количества движения, дают

Эти три результата можно объединить в одно соотношение

которое становится почти очевидным, если принять во внимание, что в координатном представлении Действительно,

Теперь мы воспользуемся равенствами (53.6) и (53.7), чтобы вычислить перестановочные соотношения с операторами

Мы имеем

Непосредственное применение формул (54.3), а затем формул (54.5) и снова формул (54.3) приводит нас к перестановочным соотношениям между сферическими гармониками и оператором момента количества движения. Ниже дано несколько типичных

примеров:

(см. скан)

Так как

то выражение в круглых скобках равно поэтому

И наконец, коммутаторы, содержащие сферические гармоники с максимальным значением обращаются в нуль:

Полученные результаты можно объединить в две простые формулы:

и

Равенства (54.4), (54.6) и (54.7) дают нам полный набор искомых коммутаторов.