Задача 116. Применение метода ВКБ к радиальному уравнению

Развитый в предыдущей задаче метод применить для нахождения радиальной волновой функции в случае сферически симметричного потенциала.

Решение. Если эйконал зависит только от одной переменной то волновое уравнение

где

с помощью подстановки

приводится к уравнению Риккати

Разложение

по степеням безразмерного параметра

где эффективный радиус области взаимодействия, позволяет получить следующую систему равенств:

После введения безразмерных функций

эти равенства принимают вид

С их помощью мы можем последовательно выразить функции через функцию и ее производные:

Если

— действительная величина, то действительными будут и все функции а так как мы разлагаем функцию по степеням чисто мнимого параметра то последовательные приближения будут попеременно то действительными, то мнимыми и будут давать вклад то в фазу, то в амплитуду радиальной волновой функции

Если мы изменим знак величины то нечетные функции не изменят своего знака, а следовательно, не изменятся и амплитудные поправки, четные же функции изменят свой знак, так что в результате у нас получится комплексно сопряженное решение. Таким образом, развитый метод позволяет найти фундаментальную систему решений.