Задача 105. Борновскоерассеяние. Последовательные приближения.
Решить задачу о потенциальном рассеянии, рассматривая рассеивающий потенциал в качестве малого возмущения. Разобрать более подробно случай центральных сил.
Решение. Запишем уравнение Шредингера в виде
где
Функция Грина, соответствующая оператору, стоящему в левой части уравнения (105.1), имеет вид
Рассматривая формально правую часть уравнения (105.1) в качестве неоднородности, мы можем применить к нему стандартный метод решения неоднородных дифференциальных уравнений. Таким образом, имеем
где 
решение однородного уравнения. Равенство (105.4) представляет собой интегральное уравнение для функции и 
Нетрудно убедиться, что интегральный член в (105.4) асимптотически, при больших 
описывает расходящуюся сферическую волну. Действительно, с ростом 
потенциал достаточно быстро убывает, что практически делает область интегрирования конечной, поэтому в выражении для функции Грина (105.3) мы можем считать, что 
следовательно,
где в означает угол между векторами 
В задачах рассеяния в качестве решения однородного уравнения 
следует брать плоскую волну, описывающую пучок падающих частиц. Пользуясь стандартной нормировкой, запишем ее в виде
Решение уравнения (105.4) можно получить методом последовательных приближений:
Другими словами, его можно записать в виде ряда Неймана:
Последний представляет собой ряд по степеням "константы взаимодействия" 
Для нахождения 
приближения необходимо вычислять 
-кратный интеграл, что делает расчет всех членов, кроме первого, весьма громоздким.
Формула первого борновского приближения заметно упрощается в том случае, когда потенциал 
зависит только от модуля вектора 
В этом случае асимптотическое поведение функции 
согласно формулам (105.7), (105.6) и (105.5), будет описываться равенством
Введем вектор совпадающий по направлению с вектором 
и такой, что 
Тогда
и интеграл (105.8) принимает вид
Фиг. 56. Волновые векторы и угол рассеяния.
Вектор
представляет собой импульс (в единицах 
), переданный частице, рассеянной в направлении вектора 
Обозначив посредством 
угол рассеяния, т. е. угол между векторами 
мы можем написать (фиг. 56)
Выполняя в выражении (105.9) интегрирование по углам, получаем
так что формула первого приближения (105.8) окончательно приобретает вид
где
Амплитуда рассеяния 
простым образом связана с дифференциальным сечением рассеяния:
Формулой (105.14) для амплитуды рассеяния, разумеется, нельзя пользоваться, если интеграл расходится на верхнем или на нижнем пределе. Следовательно, в окрестности точки 
потенциал должен расходиться не сильнее, чем 
. С другой стороны, при больших 
он должен убывать быстрее кулоновского потенциала, т. е. по крайней мере как
