Задача 77. Уравнение Шредингера в импульсном представлении в поле центральных сил
В задаче 14 было получено интегральное уравнение, которому в общем случае должны удовлетворять волновые функции импульсного представления. Показать, что в поле центральных сил решения этого уравнения можно представить в виде произведения
В частном случае атома водорода получить интерральное уравнение для функции 
Решение. Интегральное уравнение (14.6), записанное в атомных единицах, имеет вид
где
В том случае, когда потенциал 
зависит только от модуля 
радиус-вектора 
оно сводится к интегральному уравнению для функции 
Действительно, в этом случае в формуле (77.3) можно произвести интегрирование по телесному углу, так что в результате получится ядро, зависящее только от модуля вектора 
:
Но тогда ядро интегрального уравнения (77.2) будет функцией переменной
где 
— угол, образованный векторами 
и ядро 
можно будет разложить в ряд по полиномам Лежандра. Это разложение имеет вид
причем коэффициенты разложения 
зависят только от абсолютных значений 
Именно это обстоятельство позволяет представить волновую функцию в виде произведения (77.1).
Подставляя в интегральное уравнение (77.2) вместо функции 
ее выражение (77.1), получаем
Интеграл по углам можно вычислить с помощью теоремы сложения:
В результате от суммы остается только член с индексами 
и мы получаем
По угловым переменным последнее равенство является тождеством, что подтверждает корректность представления (77.1). Что же касается функции 
то для нее мы имеем интегральное уравнение
В частном случае атома водорода
и интеграл (77.4) с помощью предельного перехода
можно вычислить до конца, в результате получаем
Отсюда, согласно формуле (77.5),
и
Полагая 
замечаем, что в рассматриваемом случае равенство (77.6) представляет собой хорошо известное разложение
коэффициентами которого служат так называемые функции Лежандра второго рода
Следовательно, в нашем случае
и интегральное уравнение окончательно принимает вид
Замечание. Интегральное уравнение (77.14) было решено В. Фоком [см. Zs. Phys., 98, 145 (1935)]. При таком подходе волновые функции в импульсном представлении находятся без помощи собственных функций в координатном представлении. Однако в случае кулоновского поля второй способ оказывается более простым, и мы рассмотрим его в следующей задаче.
