Задача 41. Ускоряющее электрическое поле

Пусть металлическая пластина испускает в положительном направлении оси х поток электронов с начальной энергией которые потом ускоряются электрическим полем приложенным в том же направлении. Сопоставить классическую формулу для скорости электронов на расстоянии х от поверхности излучающей пластины,

с результатами квантовомеханического анализа данной задачи.

Фиг. 29. Ускорение электронов однородным электрическим полем.

Решение. Так как то необходимо решить уравнение Шредингера

в области (фиг. 29), причем нужные нам решения этого уравнения должны представлять собой волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х. Как и в предыдущей задаче, введем характерную длину и безразмерный энергетический параметр , определенные соотношениями

а также безразмерную переменную

В результате получаем дифференциальное уравнение

которое требуется решить в области

Решение, соответствующее расходящимся волнам, имеет вид

Как следует из формулы

оно имеет асимптотику

Чтобы сопоставить выражение (41.1) с нашими результатами, сравним теперь плотность потока частиц

с плотностью частиц

отношение этих плотностей даст нам скорость частицы Из формулы (41.7) получаем

так что соотношение (41.8) теперь дает или

или

что с помощью равенств (41.3) можно записать в виде

в полном согласии с формулой (41.1).

В наших рассуждениях мы пользовались асимптотикой волновой функции, т. е. считали, что или Характерную длину можно вычислить по формуле (41.3). В случае электрона и для вполне разумного значения напряженности поля В/см (или стат. получаем см. Таким образом, условие как правило, выполняется очень хорошо.