Задача 101. Длина рассеяния для сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы

В случае сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы

сравнить точное выражение для длины рассеяния с приближенным выражением, полученным на основании линеаризованного уравнения Калоджеро. Обсудить также случай сил отталкивания, который получается при перемене знака в формуле (101.1)

Решение. Введем обозначения

В этих обозначениях, согласно задаче 89, мы имеем следующее точное выражение:

Для потенциала (101.1) логарифмическая производная [см. равенство (89.5)] равна

Что же касается длины рассеяния, определяемой выражением

то для нее в рассматриваемом случае [см. также (89.14)] имеет место формула

С другой стороны, линеаризованное уравнение Калоджеро, как мы знаем из задачи 98, приводит к соотношению

что с учетом определения (101.5) дает

Отсюда в случае потенциала (101.1) получаем

или

где мы ввели обозначение

Если воспользоваться тождеством

то интеграл в правой части равенства (101.8) можно привести к функции ошибок. Окончательный результат имеет вид

Длины рассеяния, рассчитанные по точной формуле (101.6) и по приближенной формуле (101.9), для сравнения приведены в нижеследующей таблице для нескольких значений

(см. скан)

Ниже точки различие становится совершенно незначительным. С другой стороны, при точная формула случае сил притяжения приводит к расходимости и, кроме того, длина рассеяния меняет знак. Эту особенность длины рассеяния наше приближение передать не в состоянии. Таким образом,

линейной аппроксимацией можно пользоваться без опасений только в том случае, когда уровни связанных состояний располагаются заметно ниже нуля.

В случае сил отталкивания, когда потенциал имеет вид

мы аналогичным образом для длины рассеяния находим точную формулу

и приближенную формулу

В случае сил отталкивания резонансные эффекты отсутствуют, поэтому наше приближение, как показывают последние два столбца таблицы, оказывается более удовлетворительным.