Д. Приближение Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ)

Задача 115. Разложение эйконала

Решить уравнение Шредингера, воспользовавшись известным из оптики методом решения волнового уравнения

с помощью процедуры последовательных приближений. С этой целью ввести эйконал положив

где - длина волны в вакууме, и разложить его в ряд по степеням Показатель преломления считать медленно меняющейся функцией координат.

Решение. Пусть X означает волну де Бройля во всех точках, где тогда

Введем далее показатель преломления

Условие медленного изменения показателя преломления означает, что он меняется заметным образом на расстоянии которое значительно больше X, иначе говоря,

Подставляя выражение (115.2) в уравнение (115.1), приходим к уравнению Риккати:

Если бы было постоянным, то эйконал был бы линейной функцией координат . В случае медленно меняющегося можно ожидать, что по крайней мере на расстояниях порядка влияние нелинейности на экспоненту (115.2) будет мало. Так как для любого направления х имеет место разложение

то вклад нелинейного члена будет мал при условии, что

В этом случае первый член уравнения Риккати (115.6) мал по сравнению с двумя другими членами, поэтому в первом приближении оно заменяется уравнением эйконала:

Разложим теперь эйконал в ряд по степеням безразмерного параметра Мы имеем

причем

Подставляя это разложение в уравнение (115.6), получаем следующую систему равенств:

Эти равенства содержат только производные искомых функций, поэтому мы можем ввести безразмерные векторы

Выражения вида

будут тогда представлять собой безразмерные дивергенции векторов а равенства (115.10) приобретут вид

С их помощью можно последовательно определить все ректоры через которые, согласно (115.11), величины выражаются в квадратурах. В заключение заметим, что вопрос о граничных условиях пока остается открытым.