Задача 81. Разложение плоской волны по парциальным волнам

Разложить плоскую волну по парциальным волнам, соответствующим состояниям с определенным моментом количества движения.

Решение. Плоская волна

является решением уравнения Шредингера для свободного движения:

Общее решение этого уравнения, полученное путем разделения переменных в сферических координатах, имеет вид

где

Каждый член суммы (81.3) представляет собой вклад состояния, характеризующегося вполне определенным моментом количества движения, т. е. квантовыми числами

Представляя плоскую волну (81.1) в виде разложения (81.3), сразу же можно добиться двух упрощений.

1. Вклад в сумму дают только слагаемые с как выражение (81.1) не зависит от угла Физически это связано с тем, что пучок частиц параллелен оси и поэтому проекция момента количества движения на ось z равна нулю.

2. Функции будучи сингулярными в начале координат, не могут давать вклада в искомое разложение.

Следовательно, разложение плоской волны по состояниям с определенным моментом должно иметь вид

и наша задача сводится к определению коэффициентов . С помощью условия ортонормированности 1

где эта задача решается аналогично задаче об определении коэффициентов Фурье. Таким образом, имеем 1

Чтобы определить коэффициент из этого уравнения, следовало бы вычислить интеграл, стоящий слева, и результат интегрирования сравнить со сферической функцией Бесселя, стоящей справа. Эта процедура, будучи вполне элементарной, довольно громоздка. К счастью, использовать ее нет необходимости, так как нам достаточно сравнить выражения, стоящие в обеих частях равенства (81.7) при больших значениях произведения . В этом случае

а наш интеграл последовательным интегрированием по частям можно представить в виде разложения по отрицательным степеням величины

Асимптотически важен лишь первый член этого разложения. Учитывая, что

мы, таким образом, получаем

Подстановка выражений (81.8) и (81.9) в равенство (81.7) теперь дает

так что окончательно разложение (81.5) принимает вид

Если воспользоваться нормированным выражением для сферических гармоник

то разложению (81.11) можно придать несколько иную форму:

Обоими разложениями (81.11) и (81.13) можно пользоваться с равным успехом.

Замечание 1. Из равенства (81.7) и соотношения (81.10) вытекает интегральное представление для сферических функций Бесселя

Метод, использованный нами при решении этой специальной задачи, часто применяется для нахождения подобных интегральных представлений.

Замечание 2. Для проекция момента количества движения на ось равна нулю, две другие проекции. не имеют определенного значения. Это находит отражение и в классической картине, когда пучок падающих частиц расслаивают на тонкие цилиндрические слои радиуса Для каждого такого слоя, имеющего ось в качестве оси симметрии, величина имеет определенное значение но при этом все еще допустимы всевозможные способы разбиения вектора на компоненты Бесхитростное квантование, приводит к соотношению

где k — длина волны де Бройля, а является грубой мерой расстояния, на котором частица с квантовым числом I пролетает мимо начала координат.

Такое выделение из полной суммы одного отдельного члена разложения, разумеется, некорректно: наблюдаемые величины по необходимости выражаются через билинейные комбинации ими (или их производные), что ведет к возникновению интерференционных членов. Только в пределе больших квантовых чисел I можно дать классическую интерпретацию отдельной парциальной волне. Дело в том, что высокие сферические гармоники быстро осциллируют, поэтому усреднение даже по небольшому интервалу углов приводит к выпадению интерференционных членов.

Замечание 3. Пусть плоская волна распространяется не в направлении оси а в направлении вектора со сферическими углами и Если посредством обозначить угол между векторами то в соответствии с формулой (81.13) будем иметь

Применяя к этому выражению теорему сложения сферических гармоник

получаем разложение более общего вида