Задача 40. Свободное падение вблизи земной поверхности

Частица движется воднородном гравитационном поле над поверхностью земли, которая предполагается абсолютно упругой (например, стальной шарик, танцующий на стеклянной горизонтальной пластине). Проанализировать эту классическую задачу с точки зрения квантовой теории.

Решение. В квантовой теории скачкам стального шарика соответствует стационарное состояние. Для отыскания этого состояния необходимо решить уравнение Шредингера

в области Выше через х обозначена высота над поверхностью земли, а гравитационный потенциал взят, как обычно, в виде Предположение об абсолютно упругом характере отражения при приводит к граничному условию

Кроме того, сюда следует добавить естественное условие

Если ввести обозначения

и безразмерную переменную

где характерная длина, то уравнение (40.1) и граничные условия (40.2а) и (40.26) примут соответственно вид

и

Фиг. 27. Первые десять энергетических уровней в гравитационном поле над поверхностью земли.

Фиг. 28. Функция Эйри.

Классически разрешенная область движения заключена между классическими точками поворота (фиг. 27), т.е. ей соответствуют исключительно отрицательные значения переменной

Решения дифференциального уравнения (40.5) выражаются через функции Бесселя порядка 1/3. Решение же, удовлетворяющее граничному условию представляет собой функцию Эйри (см. фиг. 28)

Для положительных значений т. е. правее точки поворота на фиг. 27, эту функцию можно выразить через модифицированную функцию Ханкеля:

Ее асимптотика получается из общей формулы

в силу которой

В классической области, т. е. для отрицательных значений , функция Эйри выражается линейной комбинацией функций Бесселя:

или

В силу второго граничного условия (40.6) решение должно обращаться в нуль при . Так как величина X при подходящем выборе единиц представляет собой энергию, то отсюда для определения допустимых значений энергии получаем

или

Первые десять нулей функции Эйри приведены в нижеследующей таблице.

(см. скан)

Соответствующие этим нулям уровни энергии показаны на фиг. 27. Для определения более высоких уровней, когда можно

воспользоваться асимптотическими формулами

из которых следует, что при больших отрицательных значениях

Отсюда в дополнение к приведенной таблице при получается соотношение

Последнее после очевидных преобразований принимает вид

Замечание 1. Асимптотические формулы (40.9) и (40.12) полностью согласуются с формулами, которые получаются с помощью метода ВКБ (см. задачу 115, где рассмотрен вопрос об аналитическом продолжении волновой функции за классическую точку поворота без использования функции Эйри).

Замечание 2. Характерную длину I, фигурирующую в данной задаче, можно вычислить для любого значения массы Для электрона мы находим см, для частиц с большей массой получаются меньшие значения Фундаментальная энергетическая постоянная данной задачи, согласно равенству (40.14), имеет вид

что в случае электрона составляет Порядки приведенных величин дают наглядное представление о крайней малости квантовых эффектов в случае макроскопических тел. Для таких тел длина волны, отвечающая функции (40.12), будет чрезвычайно мала и, следовательно, лишь усредненное по многим периодам выражение будет иметь непосредственный физический смысл:

Обозначая через высоту в классической области, мы, таким образом, имеем

что в точности соответствует предсказаниям классической теории. В самом деле, есть вероятность обнаружить частицу (танцующую в стационарном состоянии!) в интервале Так как эта же вероятность пропорциональна

времени в течение которого частица находится в указанном интервале, то

и для скорости частицы получаем что, очевидно, согласуется с классическим выражением

Любопытно отметить значительные математические трудности, возникающие при решении рассматриваемой задачи, которая в классической механике является одной из самых простейших.

Замечание 3. В данной задаче нулевая энергия, по порядку величины равна Этот результат легко получается с помощью соотношения неопределенности, Действительно, а размеры классической области равны Таким образом, имеем

что для энергии дает величину ожидаемого порядка: