Задача 90. Низкоэнергетическое рассеяние и связанные состояния

Исследовать поведение функции в окрестности точки на комплексной плоскости Рассмотреть вопрос о существовании связанного состояния в той области значений где еще можно пользоваться разложением для

Решение. Если для малых значений существует разложение вида

то будет аналитической функцией комплексной переменной с полюсом в точке Связанным состояниям отвечают значения переменной лежащие на положительной мнимой полуоси. Положим

где — действительная и положительная величина. Подставляя выражение для в формулу (90.1), получаем

т. е. на мнимой оси становится чисто мнимой величиной. Мы знаем, что фаза рассеяния 60 играет важную физическую роль по той причине, что асимптотика радиальной волновой функции -состояния имеет вид

Основываясь на аналитичности функции мы можем для отрицательных энергий с учетом соотношения (90.3) написать

Функция с таким поведением будет волновой функцией связанного состояния только в том случае, если при будет выполняться равенство

так как только при таком условии функция будет нормируема. Условие (90.4) можно записать по-иному:

или

Подставляя равенство (90.5) в формулу (90.3), получаем

это соотношение связывает характеристическую величину и с параметрами рассеяния а и Этой связью можно воспользоваться двояким образом.

1. Определение энергии связи из данных по рассеянию. Предположим, что в соотношении (90.6) второе слагаемое в правой части играет роль малой поправки. В этом случае соотношение (90.6), рассматриваемое в качестве уравнения относительно х, имеет решение

поэтому энергия связанного состояния будет равна

Так как здесь фигурирует только то необходимо подчеркнуть, что, согласно равенству (90.7), связанное состояние в рамках нашего приближения может существовать только при положительных длинах рассеяния.

2. Определение сечения рассеяния по энергии связи. Данная задача не допускает столь полного решения, так как при этом требуется найти значение двух параметров, а в нашем распоряжении имеется лишь один (энергия связи). Запишем выражение для сечения рассеяния

и в том же приближении, в котором получено равенство (90.7), разрешим уравнение (90.6) относительно а:

Далее из формулы (90.1) следует

и поэтому

Таким образом, мы приходим к знаменитой формуле Бете-Пайерлса из ядерной физики:

Она справедлива при малых энергиях и условии

Литература

(см. скан)