Главная > Задачи по квантовой механике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 55. Преобразование сферических гармоник

Пусть конечный поворот системы координат характеризуется тремя углами Эйлера а, у. Выяснить трансформационные свойства волновых функций, являющихся сферическими гармониками.

Решение. Начнем с общепринятого определения углов Эйлера. Исходная система координат х, у, z сначала поворачивается на угол а вокруг оси причем В результате получается система координат которую теперь следует повернуть на угол вокруг оси Получающуюся таким образом промежуточную систему координат

в заключение поворачивают на угол вокруг оси и она переходит в систему координат

Путем последовательного применения формул (48.1) нетрудно убедиться, что всякая волновая функция при повороте вокруг оси А на конечный угол преобразуется по закону

Таким образом, закон преобразования волновой функции при трех следующих друг за другом эйлеровых поворотах имеет вид

где

Теперь мы попытаемся выразить три поворота вокруг осей 2а, фигурирующие в формуле (55.3), через повороты вокруг осей исходной системы координат.

Фиг. 32. Повороты осей координатных систем.

Чтобы произвести поворот на угол вокруг оси обратимся к фиг. 32, а, на которой оси совпадают между собой и перпендикулярны плоскости чертежа, а оси у и образуют угол а. Мы заменим поворот на угол вокруг оси сначала обратным поворотом системы координат на угол —а вокруг оси затем произведем поворот на угол вокруг оси у вместо оси и наконец повернем систему координат снова вокруг оси на угол Таким образом, имеем

Аналогичным образом мы разложим поворот на угол 7 вокруг оси (фиг. 32,б). Для этого сначала повернем ось назад на угол вокруг оси затем повернем ось на угол 7 вокруг оси z и наконец восстановим исходное положение оси с помощью поворота на угол вокруг оси

Комбинируя равенства (55.3) — (55.5), в результате находим

или

Формула (55.6) является весьма общей и по существу чисто геометрической формулой; ниже мы ее применим в частном случае сферических гармоник. Функция является собственной функцией оператора принадлежащей собственному значению Оператор как нетрудно усмотреть из результатов задачи 56, может изменять только индекс но не индекс поэтому в новой системе координат мы в соответствии с формулой (55.2) будем иметь

Перейдем к вычислению коэффициентов разложения:

или короче

где оператор, определенный формулой (55.6). Далее мы можем написать 11

и, следовательно,

где

— довольно сложная функция переменной Таким образом, закон преобразования сферических гармоник имеет вид

1
Оглавление
email@scask.ru