Задача 53. Перестановочные соотношения компонент тензора
Рассмотрев бесконечно малые вращения системы координат, получить перестановочные соотношения компонент симметричного тензора с компонентами оператора момента количества движения.
Решение. Как было показано в задаче 50, всякий квантово-механический оператор при бесконечно малых вращениях
преобразуется по закону
Если преобразование координат задается формулой 
то тензор определяется трансформационными свойствами своих компонент:
Так как при бесконечно малых вращениях 
то отсюда
сравнив с соотношением (53.1), находим
Формула (53.4) является основой для решения нашей задачи. Ниже мы ограничимся вращением вокруг оси х, когда
В этом случае
поэтому для симметричного тензора разность
также оказывается симметричной. Левая часть этого равенства, согласно (53.4), должна равняться 
следовательно,
Перестановочные соотношения с компонентами 
можно найти, рассмотрев вращения вокруг осей у и z или, что еще проще, с помощью циклических перестановок символов в формулах (53.6):
Следует отметить, что все три компоненты 
коммутируют со следом тензора:
Последнее обстоятельство становится понятным, если записать симметричный тензор в виде
где 
Следовательно, след тензора 
представляет собой скаляр (тензорный инвариант), но, как было показано в конце задачи 50, скаляр всегда коммутирует с компонентами 
