Задача 53. Перестановочные соотношения компонент тензора

Рассмотрев бесконечно малые вращения системы координат, получить перестановочные соотношения компонент симметричного тензора с компонентами оператора момента количества движения.

Решение. Как было показано в задаче 50, всякий квантово-механический оператор при бесконечно малых вращениях

преобразуется по закону

Если преобразование координат задается формулой то тензор определяется трансформационными свойствами своих компонент:

Так как при бесконечно малых вращениях то отсюда

сравнив с соотношением (53.1), находим

Формула (53.4) является основой для решения нашей задачи. Ниже мы ограничимся вращением вокруг оси х, когда

В этом случае

поэтому для симметричного тензора разность

также оказывается симметричной. Левая часть этого равенства, согласно (53.4), должна равняться следовательно,

Перестановочные соотношения с компонентами можно найти, рассмотрев вращения вокруг осей у и z или, что еще проще, с помощью циклических перестановок символов в формулах (53.6):

Следует отметить, что все три компоненты коммутируют со следом тензора:

Последнее обстоятельство становится понятным, если записать симметричный тензор в виде

где Следовательно, след тензора представляет собой скаляр (тензорный инвариант), но, как было показано в конце задачи 50, скаляр всегда коммутирует с компонентами