Задача 58. Средние значения компонент момента количества движения

Что можно сказать о компонентах момента количества движения в следующих двух случаях?

а) Волновая функция частицы, движущейся в центральном поле, зависит от углов как

б) При данном значении функции зависят от угла одинаковым образом. Оба решения вырождены, поэтому их линейные комбинации, пропорциональные и эттф, по-прежнему являются решениями уравнения Шредингера в случае центральных сил.

Решение

а. Сферическая гармоника есть собственная функция операторов принадлежащая соответственно собственным значениям Следовательно, компонента имеет вполне определенное значение в рассматриваемом состоянии. Две другие компоненты по необходимости не имеют определенных значений, так как компоненты момента количества движения описываются некоммутирующими операторами (см. задачи 50 и 51). Эту ситуацию можно пояснить с помощью следующей классической картины. Для каждого отдельного движения все три компоненты имеют фиксированные значения:

В нашем распоряжении, однако, имеется лишь неполная информация, позволяющая точно определить но не содержащая

никаких сведений относительно «фазового» угла Тогда в каждом отдельном случае мы можем определить лишь фазовое среднее, например,

Так как величина не зависит от угла, то она имеет вполне определенное значение; что же касается средних значений то они обращаются в нуль. Различие между классической и квантовой механикой состоит в том, что в первом случае в принципе можно было бы получить полную информацию и тем самым сделать фазовое усреднение ненужным, во втором же случае получить полную информацию из-за некоммутативности операторов вообще невозможно, так что приходится довольствоваться средними значениями.

Вместо классического среднего по фазе квантовая механика позволяет нам вычислить математическое ожидание, т. е. среднее по состоянию:

Математическое ожидание описывает средний результат, полученный на основании большого числа независимых измерений, произведенных над системами, которые находились в одном и том же состоянии. Если все эти измерения приводят к одному и тому же результату (именно такова ситуация в нашем случае с компонентой то мы имеем дело с вполне определенным значением, и математическое ожидание переходит в собственное значение. Если же различные измерения приводят к разным результатам, то на основании квантовой теории мы можем получить только соответствующее среднее значение.

Вместо того чтобы вычислять средние значения компонент момента, целесообразнее иметь дело с их комбинациями Действие операторов на функцию дает [см. приложение, а также соотношения (56.14)]

Следовательно, в выражениях появляются лишь интегралы вида

обращающиеся в нуль в силу ортогональности сферических гармоник. Таким образом, математические ожидания так же, как и фазовые средние в классической картине, равны нулю.

б. Две действительные волновые функции, рассматриваемые в этом случае, имеют вид

Обе функции являются собственными функциями оператора но не являются собственными функциями ни одного из операторов , так как

Следовательно, во всех трех случаях нас должны интересовать лишь средние значения. Для мы по существу должны повторить выкладки, которые были сделаны в случае "а"; для математических ожиданий, как и ранее, в силу ортогональности сферических гармоник получаются нулевые значения. Что касается то равенства (58.4) и здесь приводят к нулевым средним значениям, поскольку

а функции и также ортогональны. Это нетрудно усмотреть, заметив, что

Между математическими ожиданиями и с одной стороны, и математическим ожиданием с другой, однако, имеется существенное различие. В классической картине волновым функциям и все еще соответствуют состояния, для которых фазовый угол так же, как и в случае может принимать все возможные значения. Угол же может принимать всего два различных значения: поэтому

В квантовой механике математическое ожидание проистекает из смеси взятых с равными весами состояний с В этом можно убедиться с помощью равенств (58.3) и (58.4): при действии операторов вместо функций и получаются совершенно иные функции, в то время как при действии оператора функции просто меняются местами, поэтому из их линейной комбинации мы снова можем образовать собственные функции оператора Действительно,

и

Замечание. Действительные комбинации типа (58.2) играют роль в квантовой химии, где предпочтительнее рассматривать не момент количества движения, а избранные направления, определяемые местоположением соседних атомов в молекуле.