Задача 3. Классическая механика для пространственных средних
Показать, что основное уравнение классической ньютоновской динамики
где р — импульс, 
- сила, действующая на частицу, для пространственных средних (математических ожиданий) имеет место и в квантовой механике.
Решение. Пусть сила 
выражена через потенциал, 
импульс 
заменен оператором 
Интересующие нас средние определяются равенствами
Наша задача — показать, что интегралы (3.2) и (3.3) удовлетворяют уравнению (3.1), если функции 
удовлетворяют уравнениям Шредингера
Доказательство мы начнем с того, что продифференцируем равенство (3.2) по времени:
Выше мы учли, что вклад от поверхностного интеграла, появляющегося при интегрировании по частям второго слагаемого, равен нулю и его можно опустить. Избавляясь здесь от 
с помощью уравнений (3.4), получаем
Интегрирование по частям
показывает, что оба слагаемых в первом интеграле из (3.5) взаимно сокращаются. Применяя далее интегрирование по частям к последнему из оставшихся в (3.5) слагаемому, получаем
Воспользовавшись в заключение формулой
приходим к уравнению
в справедливости которого требовалось убедиться.
