Задача 118. Гармонический осциллятор в приближении ВКБ
Найти энергетические у ровни гармонического осциллятора, применив к волновым функциям ВКБ граничные условия Лангера.
Решение. В случае осцилляторного потенциала
значению энергии
где 
- классическая скорость частицы при 
соответствуют классические точки поворота
Отсюда следует, что
Волновая функция, найденная методом ВКБ и удовлетворяющая граничному условию Лангера в точке поворота 
должна иметь вид
Подставляя сюда вместо функции 
ее выражение (118.4) и учитывая, что
получаем
Теперь мы должны потребовать, чтобы это решение удовлетворяло граничному условию Лангера в другой точке поворота 
Таким образом, оно должно быть либо четной, либо нечетной функцией переменной х. Вводя обозначения
где функция 
очевидно, нечетная 
получаем
Таким образом, если
то решение и будет четной функцией; если же
то и будет нечетной функцией. Оба ограничения на фазу 
можно объединить в одной формуле, полагая
Отсюда, согласно соотношению (118.7), получаем
Отрицательные значения 
можно исключить из рассмотрения, так как они не удовлетворяют условию
выполнение которого необходимо для применимости приближения ВКБ.
Чтобы составить представление о качестве приближения ВКБ для волновых функций, интересно сравнить расположение нулей функций ВКБ 
и точных решений 
найденных в задаче 30. Соответствующие данные приведены в нижеследующей таблице:
(см. скан)
Задача 119. Уровни ВКБ в однородном поле
Пользуясь методом ВКБ, получить энергетические уровни стационарных состояний в гравитационном поле
над отражающей поверхностью 
Результаты сравнить с точным решением, найденным в задаче 40.
Решение. Здесь имеются две классические точки поворота 
Условие Лангера для левой точки поворота 
дает
где
и после элементарного интегрирования получаем
С другой стороны, условие Лангера должно выполняться и в точке 
Если ввести переменную 
то она снова будет левой точкой поворота, поэтому
или
Так как равенство (119.1) в общем случае можно записать в виде
то аргументы косинусов в формулах (119.4а) и (119.46) могут отличаться лишь на целое, кратное 
или
Такова общая формула, определяющая уровни энергии в приближении ВКБ. Применительно к частице в нашем гравитационном поле получаем
Выразив здесь величину 
через энергию и положив 
окончательно найдем
Эта формула согласуется с асимптотикой (40.14) точного решения.
Замечание. Формулу (119.5) нетрудно применить к гармоническому осциллятору, рассмотренному в задаче 118. В этом случае
что сразу же приводит к формуле для уровней
