Б. Задачи с двумя или тремя степенями свободы без сферической симметрии
Задача 42. Круговой осциллятор
Исследовать движение точечной частицы в двумерном потенциальном поле
Решить задачу в прямоугольных декартовых и полярных координатах с
Полученные результаты сравнить. Решение
а. В прямоугольных декартовых координатах уравнение Шредингера допускает разделение переменных:
причем каждый из сомножителей удовлетворяет уравнению для одномерного осциллятора (см. задачу 30):
где
Таким образом, для собственных значений имеем
или
а соответствующие волновые функции имеют вид
где посредством 
обозначены одномерные осцилляторные функции, определяемые выражением (30.10) с нормировочными постоянными (30.11). Энергетические уровни в данном случае вырождены, потому что сумму
входящую в выражение для энергии, можно составить из двух целых чисел 
различными способами, и, следовательно, общее решение имеет вид линейной комбинации
где
б. В полярных координатах потенциал зависит только от 
и здесь также допустимо раздение переменных:
Это приводит к дифференциальному уравнению
первая скобка в левой части которого получилась из лапласиана. После подстановки
для функции 
получается дифференциальное уравнение
которое с помощью замены независимой переменной 
на
преобразуется в уравнение Куммера
Решением этого уравнения, регулярным при 
является вырожденный гипергеометрический ряд
где
При больших значениях 
этот ряд расходится как 
что делает нормировку решения невозможной. Только в том случае, если
вырожденный гипергеометрический ряд обрывается, превращаясь в полином, и волновую функцию можно нормировать. В таком случае имеем
и
Так же, как и в случае равенства (42.4), можно положить
и снова подсчитать кратность вырождения, для которой получается то же самое значение, что и выше.
в. Сравнение результатов. Каждое решение (42.10), с одной стороны, есть собственная функция оператора проекции момента на ось, перпендикулярную плоскости движения,
принадлежащая собственному значению
С другой стороны, за исключением основного состояния, отдельные сомножители в волновой функции, полученные разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах, не являются собственными функциями оператора момента. Однако можно найти такие значения постоянных 
в формуле (42.5), чтобы получающаяся линейная комбинация вырожденных функций сводилась к выражению вида (42.10). Ниже приведено несколько примеров, относящихся к первым трем низшим состояниям; в правильности соответствующих формул можно убедиться непосредственной проверкой.
(основное состояние, невырожденное); 
(дважды вырожденные состояния); 
(трижды вырожденные состояния); 
Замечание. Полученные здесь результаты следует сравнить с результатами задач 65 и 66, где рассмотрен трехмерный изотропный осциллятор.
