Задача 88. Приближение, не зависящее от формы потенциала

Показать, что при низких энергиях имеет место разложение в ряд по степеням начало которого имеет вид

где длина рассеяния а и эффективный радиус -единственные параметры, зависящие от потенциала.

Из существования подобного разложения следует, что в области энергий, достаточно низких, чтобы можно было ограничиться двумя первыми членами (т. е. там, где еще не наблюдаются эффекты, связанные с любая экспериментальная кривая содержит информацию, достаточную лишь для определения двух констант. Это означает, что таким путем нельзя определить фогму потенциала. Последнее обстоятельство особенно важно в ядерной физике низких энергий, где оно является одной из причин нашего незнания количественных законов для ядерных сил.

Решение. В этой низкоэнергетической области мы будем иметь дело только со случаем Обозначим посредством радиальную волновую функцию состояния с энергией а посредством волновую функцию состояния с нулевой энергией. Эти две функции подчиняются дифференциальным уравнениям

и

где

а также граничным условиям

Поведение этих функций в области где потенциал считается равным нулю, определяется формулами

причем постоянная а может быть любого знака.

Умножая уравнение (88.1а) на а уравнение (88.16) на и вычитая одно из другого, получаем

Проинтегрируем это уравнение от 0 до и воспользуемся условиями (88.2):

или

Если в качестве верхнего предела интегрирования взять какое-либо значение радиуса то в левой части последнего равенства мы сможем воспользоваться выражениями (88.3) и в результате получим

Теперь мы можем заменить здесь котангенс суммы по формуле

В результате уравнение (88.4) превратится в линейное уравнение относительно и его решение будет иметь вид

где

До сих пор мы не делали никаких приближений.

Разложим теперь наши выражения в ряды по степеням

Для этого сначала заменим тангенс его разложением:

а затем заменим величину определяемую формулой (88.6), более простым выражением:

где

В результате этих преобразований в числителе и знаменателе дроби (88.5) получаются выражения, верные с точностью до членов включительно, так что после соответствующей перегруппировки мы приходим к формуле искомого вида:

где эффективный радиус определяется соотношением

Нам осталось разобраться в двух вопросах.

1. Величина удовлетворяющая неравенству в остальном совершенно произвольна, поэтому необходимо убедиться, что эффективный радиус (88.10) от нее не зависит.

2. Если величина действительно имеет смысл эффективного радиуса, то следует проверить, всегда ли эта постоянная должна быть положительной.

В первый вопрос легко внести ясность, рассмотрев изменение выражения (88.10) при переходе от Мы имеем

Из определения (88.8) следует

или

поэтому, подставляя (88.12) в уравнение (88.11), сразу же получаем

каково бы ни было значение лишь бы оно превосходило Следовательно, постоянная не зависит от выбора

Чтобы ответить на второй вопрос, предположим, что тогда первый член в правой части (88.10) будет положительным, второй же член в силу неравенства -отрицательным. Таким образом, эффективный радиус будет положительной величиной, если первый член рассматриваемого выражения больше

второго, т. е.

Это неравенство эквивалентно условию

в чем нетрудно убедиться с помощью определения (88.8). В случае (фиг. 51, а) справедливость нашего неравенства следует из того, что график функции всюду располагается под прямой

Фиг. 51. Волновая функция состояния с нулевой энергией и ее асимптотическое поведение при различных знаках длины рассеяния а.

Оно справедливо и в случае (фиг. 51,б), если только точка расположена не слишком далеко от нуля функции

Замечание. С помощью равенства

формулу для эффективного радиуса (88.10) можно привести к виду

Обычно в литературе используют такую нормировку, при которой асимптотически следовательно, Кроме того, в рассмотрение вводят разность этой асимптотики и функции

что позволяет записать формулу для эффективного радиуса в виде

В качестве верхнего предела интегрирования здесь взята бесконечность, но функция конечно, равна нулю правее точки