Задача 66. Вырожденные состояния изотропного осциллятора
Показать, что собственную функцию изотропного осциллятора с квантовыми числами 
можно сконструировать как линейную комбинацию вырожденных функций, полученных разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах.
Решение. В прямоугольных декартовых координатах уравнение Шредингера для изотропного осциллятора можно записать в виде
где
и К обозначают те же величины, что и в предыдущей задаче. С помощью разделения переменных
для каждой из независимых переменных 
мы получаем простые осцилляторные уравнения, первое из которых, например, имеет вид
Соответствующие собственные значения равны 
целое неотрицательное число. Как было показано в задаче 30, (ненормированная) собственная функция уравнения (66.3) при четных 
равна
а при нечетных 
равна
То же самое имеет место и для функций 
(соответствующие квантовые числа мы будем обозначать посредством 
поэтому полная энергия должна быть равна
С другой стороны, при разделении переменных в сферических координатах, как мы видели,
следовательно, в состоянии с квантовыми числами 
мы имеем 
а соответствующая собственная функция, согласно формуле (65.12), равна
Теперь наша задача состоит в том, чтобы записать выражение (66.7) в прямоугольных декартовых координатах и результат выразить в виде линейной комбинации функций 
для которых
Мы имеем
В каждом произведении 
присутствует один и тот же экспоненциальный множитель, который в дальнейшем, при сравнении функций, мы опустим. Так как то в формулах (66.4а) и (66.46) первый параметр 
вырожденной гипергеомеурической функции не может превосходить 2. Эти же соображения, разумеется, относятся и к гипергеометрическим функциям, через которые выражаются функции 
Поэтому нам
придется иметь дело лишь со следующими полиномами:
Как показано в нижеследующей таблице, число 4 [см. формулу (66.8)] можно разбить на сумму трех целочисленных
(см. скан)
слагаемых пятнадцатью различными способами. Так как интересующий нас полином (66.9) содержит только четные степени переменных 
то 9 функций, полученных разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах, в которых фигурируют нечетные степени 
те функции, где хотя бы одно из трех чисел 
па нечетное), в искомую линейную комбинацию вклада не дадут. В последнем столбце таблицы мы приводим коэффициенты, на которые необходимо умножить соответствующие функции для того, чтобы их сумма оказалась равной полиному (66.9). Так как в нашем распоряжении имеется всего 6 слагаемых, а полином (66.9) содержит 10 членов, то у нас остается еще 4 соотношения, которые можно использовать для контроля правильности вычислений.
Замечание. Сопоставьте этот анализ с результатами задачи 42, где разбирался вопрос о вырожденных состояниях изотропного осциллятора на плоскости.
